有依赖的01背包问题

王强今天很开心，公司发给N元的年终奖。王强决定把年终奖用于购物，他把想买的物品分为两类：主件与附件，附件是从属于某个主件的，下表就是一些主件与附件的例子：

主件	附件
电脑	打印机，扫描仪
书柜	图书
书桌	台灯，文具
工作椅	无

如果要买归类为附件的物品，必须先买该附件所属的主件。每个主件可以有 0 个、 1 个或 2 个附件。附件不再有从属于自己的附件。王强想买的东西很多，为了不超出预算，他把每件物品规定了一个重要度，分为 5 等：用整数 1  ~ 5 表示，第 5 等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是 10 元的整数倍）。他希望在不超过 N 元（可以等于 N 元）的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。

    设第 j 件物品的价格为 v[j] ，重要度为 w[j] ，共选中了 k 件物品，编号依次为 j 1 ， j 2 ，……， j k ，则所求的总和为：

v[j 1 ]*w[j 1 ]+v[j 2 ]*w[j 2 ]+ … +v[j k ]*w[j k ] 。（其中 * 为乘号）

    请你帮助王强设计一个满足要求的购物单。

 

输入描述:

输入的第 1 行，为两个正整数，用一个空格隔开：N m

（其中 N （ <32000 ）表示总钱数， m （ <60 ）为希望购买物品的个数。）

从第 2 行到第 m+1 行，第 j 行给出了编号为 j-1 的物品的基本数据，每行有 3 个非负整数 v p q

（其中 v 表示该物品的价格（ v<10000 ）， p 表示该物品的重要度（ 1  ~ 5 ）， q 表示该物品是主件还是附件。如果 q=0 ，表示该物品为主件，如果 q>0 ，表示该物品为附件， q 是所属主件的编号）

输出描述:

 输出文件只有一个正整数，为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值（ <200000 ）。

输入例子:

1000 5
800 2 0
400 5 1
300 5 1
400 3 0
500 2 0

输出例子:

2200

解题思路：

可以网上搜「背包九讲完整版.pdf」看一下各种背包问题的基础概念和算法

核心方程：

即第i件物品放还是不放。（因为你放了可能导致其他东西不能放，所以不是一定放了更大）

解题技巧：

说了钱是10的整倍数，可以将费用先除以10，以减少遍历复杂的，最后再乘以10即可

对主件，主件+附件1，主件+附件2，主件+附件1+附件2四种互斥的分组，可以通过第一维度相同，第二维度不同的二维数组存储，这样用第一维度遍历即可只选取四种互斥分组中的一组

#include 
using namespace std;

int getMax(int x, int y){
	return (x > y ? x : y); 
}

int main(){
	int N;	//总钱数
	int m;	//希望购买的物品个数
	int weight[60][3]={0};	//价格（成本）
	int value[60][3]={0};	//价值（重要度*价格）
	int f[60][3200];		//第i个物品在j容量下可以获得的最大价值
	int i,j;

	cin >> N >> m;
	N/=10;	//都是10的整数，先除以10，减少循环次数
	//存储清单
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int v;	//该物品价格
		int p;	//该物品价值
		int q;	//该物品主件还是附件
		cin >> v >> p >> q;
		v/=10;

		if(q==0){				//主件
			weight[i][0]=v;
			value[i][0]=p*v;
		}
		else{					//附件
			if(weight[i][1]==0){	//第一个附件
				weight[i][1]=v;
				value[i][1]=p*v;	
			}
			else{					//第二个附件
				weight[i][2]=v;
				value[i][2]=p*v;
			}
		}
	}
	//遍历计算
	for(i=1;i<=m;i++)
		for(j=N;j>0;j--){
			if(j>=weight[i][0])		//可以容下第i个主件时,比较放第i个或者不放第i个物品的价值
				f[i][j]=getMax(f[i-1][j],f[i-1][j-weight[i][0]]+value[i][0]);
			if(j>=weight[i][0]+weight[i][1])	//可以容下第i个主件和此主件的第1个附件时
				f[i][j]=getMax(f[i-1][j],f[i-1][j-weight[i][0]-weight[i][1]]+value[i][0]+value[i][1]);
			if(j>=weight[i][0]+weight[i][2])	//可以容下第i个主件和此主件的第2个附件时
				f[i][j]=getMax(f[i-1][j],f[i-1][j-weight[i][0]-weight[i][2]]+value[i][0]+value[i][2]);
			if(j>=weight[i][0]+weight[i][1]+weight[i][2])		//可以容下第i个主件和此主件的第1个附件和第2个附件时
				f[i][j]=getMax(f[i-1][j],f[i-1][j-weight[i][0]-weight[i][1]-weight[i][2]]+value[i][0]+value[i][1]+value[i][2]);
		}
	cout << f[m][N]*10 << endl;
}

注意问题：

如果以上j是从0->N循环则代表可以重复选，j是从N->0循环则代表不能重复选。因为从N->0循环，前面都没有值，不会重复选到第i件物品；而从0->N循环，从小开始有值，当j足够大时可能会重复选择第i个物品。