LeetCode 5.Longest Palindromic Substring的DP解法

题目描述：

         Given a string s, find the longest palindromic substring in s. You may assume that the maximum length of s is 1000.

             翻译：给定一个string s,找出s的最大回文子串，假设字符串长度最长为1000.

example:

Input: "babad"

Output: "bab"

Note: "aba" is also a valid answer.

关于这道题可以使用动态规划解法，对于任意一个字符串我们先分析一下基本情况。

情况1：如果这个字符串非空，那么任何一个字符都是一个回文子串，也就是说对于字符串“abcb”, "a"可以看成一个回文子串，因为正读和反过来都是"a".但这个不是最长子串，显然最长子串是“bab”。

情况2：我们分析这样一个串“...aba...”省略号表示aba的前后都有一些字符，但我们暂时不用管是什么，显然aba是一个回文子串，但不一定是最长的，我们怎么判断是不是还有最长的呢，我们先分析aba后一个字符，加入用*表示aba后面的一个字符，如果aba前面一个字符也是*，那么存在一个子串*aba*，他的长度是5，属于原字符串的一个回文子串。接下来的问题又变成了得到一个*aba*回文子串之后怎么判断是否还有更长的回文子串，我们只需要判断*aba*后面的一个字符串是不是和前面的字符串相等。规律就出现了。

解法：根据我们的分析，我们可以应用动态规划来解，首先需要写出动态规划的递推式，我们使用p(i,j)来表示从i开始到j结尾的子串是原字符串的一个回文子串，显然有如下表达式：初始条件如下：，具体dp代码如下:

string longestPalindrome(string s) {
        bool dp[1000][1000] = {false};
        int maxlen = 1;
        int start = 0;
        for (int i = 0; i < s.size(); ++i)
        {
            dp[i][i] = true;
            if(i < s.size() && s[i] == s[i+1])
            {
                dp[i][i+1] = true;
                maxlen = 2;
                start = i;
            }
        }
        
        for (int len = 3; len <= s.size(); ++len)
        {
            for (int i = 0; i <= s.size() - len; ++i)
            {
                int j = len + i - 1;
                if (dp[i+1][j-1] && s[i]==s[j])  
                {
                    dp[i][j]=true;
                    maxlen = len;
                    start = i;
                }
            }
        }
        return s.substr(start,maxlen);
    }