经典DP合集 ʕ •ᴥ•ʔ

1. 数字三角形/数塔问题（DP入门题）

        有形如下图所示的数塔，从顶部出发，在每一结点可以选择向左走或是向右走，一起走到底层，要求找出一条路径，使路径上的值最大。

 

样例输入：

5

13

11 8

12 7 26

6 14 15 8

12 7 13 24 11

样例输出：

86（13->8->26->15->24）

状态转移方程：dp[i][j]=max(dp[i+1][j],dp[i+1][j+1])+a[i][j]; 从最低层往上搜索

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
//#include 

 

2. 序列DP

（1）最长上升子序列LIS

        输入n及一个长度为n的数列，求出此序列的最长上升子序列长度。上升子序列指的是对于任意的i

样例输入：

5

4 2 3 1 5

样例输出：

3（最长上升子序列为2, 3, 5）

#include 
#include 
#define maxn 1005
using namespace std;
int n,a[maxn];
int dp[maxn];    //dp[i]记录以a[i]为末尾的最长上升子序列的长度
int main()
{
	int i,j;
	int ret;
	while(scanf("%d",&n)!=EOF)
	{
	    for(i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d",&a[i]);
            dp[i]=1;      //初始化
        }
        ret=1;
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            for(j=1;j

 

（2）最长公共子序列LCS

        给定两个字符串s1和s2（长度均不超过1000），求出这两个字符串的最长公共子序列的长度。

【分析】定义dp[i][j]：串s1的前i个字符 和 串s2的前j个字符的最长公共子序列长度，则s1…si+1和t1…tj+1对应的公共子列可能是：

        ①si+1=tj+1时：在s1…si 和 t1…tj的公共子列末尾追加si+1（即LCS长度+1）

        ②否则可能为s1…si和t1…tj+1的公共子列长度l1 或s1…si+1和t1…tj的公共子列长度l2，二者取较大者。

        故状态转移方程为：

        dp[i+1][j+1]=dp[i][j]+1,                                      ①

                                max(dp[i][j+1], dp[i+1][j]),        ②

        最后dp[len1][len2]即为所求，其中len1、len2分别为串s1和s2的长度。

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
const int maxlen=1010;
char s1[maxlen],s2[maxlen];
int dp[maxlen][maxlen];   //dp[i][j]记录串s1的前i个字符和串s2的前j个字符的LCS长度
int main()
{
    int i,j;
    int len1,len2;
    while(scanf("%s",s1)!=EOF)
    {
        scanf("%s",s2);
        len1=strlen(s1);
        len2=strlen(s2);
        dp[0][0]=0;         //初始化：两串均为空时，len(LCS)=0
        for(i=1;i<=len1;i++)//s2串为空时，不论s1中有多少字符，len(LCS)=0
            dp[i][0]=0;
        for(i=1;i<=len2;i++)//s1串为空时，不论s1中有多少字符，len(LCS)=0
            dp[0][i]=0;
        for(i=0;i

 

（3）最大公共子串LCS

        给定两个字符串s1和s2（长度均不超过1000），求出这两个字符串的最大公共子串的长度。

【分析】情境类似求最长公共子序列长度问题，不过需要注意的是：所求子串中的字符需要在串s1和串s2中连续出现。

 

        例：s1=”abcad”

                s2=”abd”

        它们的最长公共子序列长度为3（”abd”），而最大公共子串长度为2（”ab”）。

        因此，定义dp[i][j]：串s1的前i个字符 和 串s2的前j个字符的最大公共子串长度，则s1…si+1和t1…tj+1对应的公共子串可能是：

        ①si+1=tj+1时：在s1…si 和 t1…tj的公共子串末尾追加si+1（即LCS长度+1）

        ②否则dp[i][j]=0。

        分析可知状态转移方程：

        dp[i+1][j+1]=dp[i][j]+1,                     ①

                                0,                                   ②

 

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
const int maxlen=1010;
char s1[maxlen],s2[maxlen];
int dp[maxlen][maxlen];    //dp[i][j]为串s1的前i个字符和串s2的前j个字符的最大公共子串长度
int main()
{
    int i,j;
    int len1,len2,ret;     //ret记录结果
    while(scanf("%s",s1)!=EOF)
    {
        scanf("%s",s2);
        memset(dp,0,sizeof(dp));   //初始化：开始LCS长度均为0
        len1=strlen(s1);
        len2=strlen(s2);
        ret=0;
        for(i=0;i