轻松搞定动态规划解决矩阵连乘问题

【问题描述】

• 给定n个矩阵｛A1,A2,…,An｝，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1，2…，n-1。如何确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。

• 例如：
  A1是A（5*10）的矩阵；

  A2是A（10*15）的矩阵；

  A3是A（15*2）的矩阵；
  那么就有两种计算方式：
  1.（A1A2)A3
  2. A1(A2A3)
  第一种乘法次数为：5 * 10 * 15+5 * 15 * 2=900
  第二种乘法次数为：10 * 15 * 2+5 * 10 * 2=400
  显然，最好的次序是（A1A2)A3，乘法次数为400次。

• 矩阵链乘法问题描述：
  给定由n个矩阵构成的序列｛A1，A2，…，An}，对乘积A1A2…An，找到最小乘法次数的序列乘法次序，即加括号方法。

• 动态规划解题思路
  

• 寻找最优子结构
  对乘积A1A2…An的任意加括号方法都会将序列在某个地方分成两部分，也就是最后一次乘法计算的地方，我们将这个位置记为k，也就是说首先计算A1…Ak和Ak+1…An，然后再将这两部分的结果相乘。
  最优子结构：假设A1A2…An的一个最优加括号把乘积在Ak和Ak+1间分开，则前缀子链A1…Ak的加括号方式必定为A1…Ak的一个最优加括号，后缀子链同理。
  一开始并不知道k的确切位置，需要遍历所有位置以保证找到合适的k来分割矩阵的连乘。

• 建立递归关系
  

• 构建辅助表，解决重叠子问题
  从第二步的递归式可以发现解的过程中会有很多重叠子问题，可以用一个n*n维的辅助表m[n][n] s[n][n]分别表示最优乘积代价及其分割位置k 。
  辅助表s[n][n]由自底向上填表构建，该方法要求按照递增的方式逐步填写子问题的解，也就是先计算长度为2的所有矩阵链的解，然后计算长度3的矩阵链，直到长度n。

• 例题：
  

• 构建辅助表：
  计算顺序：
  
  计算过程：
  
  m[i][j]计算结果：
  
  s[i][j]计算结果：
  

• 自底向上递推并用二维数组保存中间结果避免重复计算

• 核心代码：

void MatrixChainOrder(int *p,int m[N][N],int s[N][N],int length)
{
    int n=length-1;
    int l,i,j,k,q=0;
    //m[i][i]只有一个矩阵，所以相乘次数为0，即m[i][i]=0;
    for(i=1;i<length;i++)
    {
        m[i][i]=0;
    }
    //l表示矩阵链的长度
    // l=2时，计算 m[i,i+1],i=1,2,...,n-1 (长度l=2的链的最小代价)
    for(l=2;l<=n;l++)
    {
        for(i=1;i<=n-l+1;i++)
        {
            j=i+l-1; //以i为起始位置，j为长度为l的链的末位，
            m[i][j]=0x7fffffff;//先假定最小代价为int类型所能取到的最大值
            //k从i到j-1,以k为位置划分
            for(k=i;k<=j-1;k++)
            {
                q=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
                if(q<m[i][j])
                {
                    m[i][j]=q;
                    s[i][j]=k;
                }
            }
        }
    }
    cout << "最小的次数为：\n"<<m[1][N-1] << endl;
}
void PrintAnswer(int s[N][N],int i,int j)
{
    if(i==j)
    {
        cout<<"A"<<i;
    }
    else
    {
        cout<<"(";
        PrintAnswer(s,i,s[i][j]);
        PrintAnswer(s,s[i][j]+1,j);
        cout<<")";
    }
}

• 完整源代码：

#include
using namespace std;
const int N=7;
//p为矩阵链，p[0],p[1]代表第一个矩阵，p[1],p[2]代表第二个矩阵，length为p的长度
//所以如果有六个矩阵，每个矩阵的行和最后一个矩阵的列，所以length=7，m为存储最优结果的二维矩阵，s为存储选择最优结果路线的
//二维矩阵
void MatrixChainOrder(int *p,int m[N][N],int s[N][N],int length)
{
    int n=length-1;
    int l,i,j,k,q=0;
    //m[i][i]只有一个矩阵，所以相乘次数为0，即m[i][i]=0;
    for(i=1;i<length;i++)
    {
        m[i][i]=0;
    }
    //l表示矩阵链的长度
    // l=2时，计算 m[i,i+1],i=1,2,...,n-1 (长度l=2的链的最小代价)
    for(l=2;l<=n;l++)
    {
        for(i=1;i<=n-l+1;i++)
        {
            j=i+l-1; //以i为起始位置，j为长度为l的链的末位，
            m[i][j]=0x7fffffff;//先假定最小代价为int类型所能取到的最大值
            //k从i到j-1,以k为位置划分
            for(k=i;k<=j-1;k++)
            {
                q=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
                if(q<m[i][j])
                {
                    m[i][j]=q;
                    s[i][j]=k;
                }
            }
        }
    }
    cout << "最小的次数为：\n"<<m[1][N-1] << endl;
}
void PrintAnswer(int s[N][N],int i,int j)
{
    if(i==j)
    {
        cout<<"A"<<i;
    }
    else
    {
        cout<<"(";
        PrintAnswer(s,i,s[i][j]);
        PrintAnswer(s,s[i][j]+1,j);
        cout<<")";
    }
}
int main()
{   int p[N],x,i;
    int m[N][N],s[N][N];
	cout<<"请依次输入每个矩阵的行和最后一个矩阵的列数："<<endl;
    for(i=0;i<N;i++)
		cin>>p[i];
    MatrixChainOrder(p,m,s,N);
    PrintAnswer(s,1,N-1);
    return 0;
}

• 运行截图：
  
  部分图来源于网上。