读《如何理解 Graph Convolutional Network（GCN）？》

接触的第一篇GCN的内容，整理一些笔记。

原文链接： https://www.zhihu.com/question/54504471/answer/332657604

一、区别CNN

CNN仅针对Euclidean Structure，要求图像或者视频的像素点都排列成整齐的矩阵。

GCN可以扩充到Non Euclidean Structure(NES)中，社交、信息中的网络结构、拓扑结构。

二、Why GCN？

1、CNN在NES中无法保持平移不变性。拓扑结构中，节点并非整齐矩阵，邻居数可能不同。

2、NES结构中有效提取空间特征进行机器学习。

3、任何数据在赋范空间内都可建立拓扑关联，拓扑连接是一种广义数据结构。

三、提取空间特征两种方式

spatial domain空间域，spectral domain 光谱域。

1、spatial domain：把顶点的邻居都找出来。

两个问题：按什么条件找中心点的邻居；找到了不同数目的邻居后，怎么表示这些邻居的特征。

解决办法：参考Learning Convolutional Neural Networks for Graphs

存在缺陷：每个顶点的情况不一样，计算必须针对每一个顶点；提取特征效果没有卷积好。

2、spectral domain：借助图谱理论实现拓扑图的卷积操作。

研究进程：GSP(Graph signal processing)→Graph Fourier Transformation→ Graph Convolution→GCN

Spectral Graph Theory：借助于拉普拉斯矩阵的特征值和特征向量研究图的性质

四、What is 拉普拉斯矩阵？why 拉普拉斯矩阵？

Graph Fourier Transformation和Graph Convolution的定义都用到了拉普拉斯矩阵。以前好像学过，，，忘了……

1、拉普拉斯矩阵

图G=(V,E)，拉普拉斯矩阵定义为L=D-A，D是顶点的度矩阵(对角阵),对角线上元素依次为各个顶点的度， A是图的邻接矩阵。

2、三种拉普拉斯矩阵

Combinatorial Laplacian：L=D-A

Symmetric normalized Laplacian： ，在GCN中使用较多

Random walk normalized Laplacian： 

3、why GCN用到拉普拉斯矩阵？

L是对称阵，可进行特征分解(谱分解)。

L只在中心顶点和一阶相连的顶点（1-hop neighbor）上有非0元素，其余均为o

L算子和L矩阵进行类比。

五、L的特征分解(谱分解)

GCN的核心基于拉普拉斯矩阵的谱分解，矩阵的谱分解=特征分解=对角化，不是所有的矩阵都可以特征分解(充要条件为n阶方阵存在n个线性无关的特征向量)。L矩阵是半正定对称矩阵。

拉普拉斯矩阵其谱分解为：

其中 ，是列向量为单位特征向量的矩阵，也就说 是列向量。 是n个特征值构成的对角阵。

由于 是正交矩阵，即 ，转置=逆，所以特征分解又可以写成：

六、Graph上的傅里叶变换、卷积

把传统的傅里叶变换以及卷积迁移到Graph上来，核心工作其实就是把拉普拉斯算子的特征函数 变为Graph对应的拉普拉斯矩阵的特征向量。

1、传统的傅里叶变换定义为：，信号 与基函数 的积分，基函数 是拉普拉斯算子的特征函数（满足特征方程）, 就和特征值有关。

广义的特征方程定义为：，其中 是一种变换， 是特征向量或者特征函数（无穷维的向量）， 是特征值。 满足：， 就是变换 的特征函数， 和特征值密切相关。

是拉普拉斯矩阵， 是其特征向量，满足。

Graph上的傅里叶变换：，是Graph上的 维向量， 与Graph的顶点一一对应， 表示第 个特征向量的第 个分量。

特征值（频率） 下， 的Graph 傅里叶变换就是与 对应的特征向量 进行内积运算。

是复数空间中，也就是特征向量 的共轭

将Graph上的傅里叶变换改为矩阵乘法：

在Graph上傅里叶变换的矩阵形式为：

2、传统的傅里叶逆变换是对频率 求积分：

迁移到Graph上变为对特征值 求和：

将Graph上的傅里叶逆变换推广到矩阵形式：

即 在Graph上傅里叶逆变换的矩阵形式为：

3、卷积。函数卷积的傅里叶变换 函数傅里叶变换的乘积，例如函数 与 两者的卷积是二者傅立叶变换的乘积的逆变换：

类比到Graph上， 与卷积核 在Graph上的卷积：f和h的傅里叶变换→相乘→逆变换。

的傅里叶变换为 ，

卷积核 的傅里叶变换写成对角矩阵的形式即为： ，卷积核 在Graph上的傅里叶变换：。

两者的傅立叶变换乘积即为：

再乘以 求两者傅立叶变换乘积的逆变换，则求出卷积：

另一种写法：， 表示hadamard product（哈达马积），向量内积或者同维度矩阵的对应元素的乘积运算。

七、Deep Learning中的GCN

Deep learning 中的Convolution就是要设计含有trainable共享参数的kernel，在Graph中，卷积参数是。

第一代GCN：，是激活函数，是权重参数，

待优化。就是graph上对应于每个顶点的feature vector，从数据集中提取特征构成向量。

第二代GCN：换成了 ，卷积为，

推导公式，得到，

α是参数，待更新。