矩阵特征值与行列式、迹的关系

矩阵的特征值之和等于矩阵的行列式

矩阵的特征值之积等于矩阵的迹

简单的理解证明如下：

1、二次方程的韦达定理：

请思考：x^2+bx+c=0 这个方程的所有根的和等于多少、所有根的积等于多少

 

2、把二次方程推广到 N 次：

对一个一元n次方程，它的根记作

那么接下来可以类似地来思考：(x-x1)(x-x2)(x-x3)...(x-n_N)=0 这个方程的所有根的和对应于等式左边展开后几次项的系数，所有根的积对应等式展开后几次项的系数。

说明：

已知一个一元五次方程：

根据高斯的代数原理：上式在复数范围内必可分解成的形式；且x1, x2, x3, x4, x5是该多项式在复数范围内的根。

 

3、考虑矩阵的特征值问题

• 设A为n阶方阵，考虑特征多项式|A-λI|的n-1次项，有矩阵 A 的特征值方程：det(A-λI)=0（行列式展开式在这里不作说明，可以参考相关资料），我们可以发现，除了主对角元的乘积 (λ-a11)(λ-a22)...(λ-ann) 之外，其他展开项的次数都小于 n-1。因此 n-1 次项的系数就是 (λ-a11)(λ-a22)...(λ-ann) 中 λ^(n-1) 的系数，也就是-(a11+a22+...+ann)。 
  特征值是特征多项式的根，由韦达定理（根与系数关系）知特征值的和 = a11+a22+...+ann。

 

4、参考文献：

http://www.zhihu.com/question/20533117

http://baike.baidu.com/view/1166.htm?fr=aladdin