生成树计数

给定无向图邻接矩阵，求该无向图生成树的个数

神奇的Matrix-Tree定理：

 

设矩阵G[N][N]为图的度数矩阵, G[i][i] = i点度数，其余元素为0

设矩阵A[N][N]为图的邻接矩阵

则定义Kirchhoff矩阵为G[N][N] - A[N][N]

 

那么该无向图的生成树个数为Kirchhoff矩阵任意n-1阶主子式的行列式值。

 

求行列式用Gauss消元就行，注意主元的选取。 时间复杂度O(n^3)

 

以下为代码，题目是CodeCraft 2007 的第四题。

参考文献可参见2007年国家集训队，周冬的论文。

1. #include 
2. #include 
4. const int N = 20;
6. double kir[N][N];
8. int n;
10. double det()
11. {
12.     int i, j, k;
13.     double t;
14.     double ans = 1.;
15.     
16.     for(i = 1; i < n; i++)
17.     {
18.         int tmp;
19.         double num = 0;
20.         for(j = i; j < n; j++)
21.         {
22.             if(fabs(kir[j][i]) > num)
23.             {
24.                 num = fabs(kir[j][i]);
25.                 tmp = j;
26.             }
27.         }
28.         if(num < 1e-9) return 0;
29.         ans *= num;
30.         if(tmp != i)
31.         {
32.             for(k = i; k < n; k++)
33.             {
34.                 t = kir[i][k]; kir[i][k] = kir[tmp][k]; kir[tmp][k] = t;
35.             }
36.         }
37.         for(j = i + 1; j < n; j++)
38.         {
39.             double factor = -1.0 * kir[j][i] / kir[i][i];
40.             for(k = i; k < n; k++)
41.                 kir[j][k] += factor * kir[i][k];
42.         }
43.     }
44.     
45.     return ans;
46. }
47.                 
48.         
50. int main()
51. {
52.     int i, j, k, ca;
53.     
54.     for(scanf("%d",&ca); ca; ca--)
55.     {
56.         memset(kir, 0, sizeof(kir));
57.         
58.         scanf("%d",&n);
59.         for(i = 1; i <= n; i++)
60.             for(j = 1; j <= n; j++){
61.                 scanf("%d",&k);
62.                 kir[i][i] += k;
63.                 if(i != j) kir[i][j] = -k;
64.             }
65.         printf("%.0lf/n", det());
66.     }
67.     return 0;
68. }
69.         
70.