复变函数第二章-解析函数

2 复变函数第二章-解析函数

2.1概念

可导，可微。

如果f(z)在z₀及z₀的邻域内处处可导，那么称f(z)在z₀解析。不解析的点称为奇点。

区域内解析$⟺$区域内可导

但 一点处可导与一点处解析不等价

2.2 函数解析充要条件

f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内(一点（x,y）)可导$⟺$u(x,y),v(x,y)在点(x,y)可微且满足柯西黎曼方程：
$$\begin{gathered} \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x} \end{gathered}$$

2.3 初等函数

2.3.1 初等函数

$$\begin{gathered} e^z=e^x(cosy+isiny) \\ |e^z|=e^x \\ Arg(e^z)=y+2k\pi \\ {e}^{z_1}{e}^{z_2}=e^{z_1+z_2} \end{gathered}$$

2.3.2 对数函数

$$\begin{gathered} e^w=z,w=u+iv,z=r{e}^{i\theta } \\ w=Lnz=ln|z|+iArgz \\ 主值：lnz=ln|z|+iargz \\ 其余可由下式得出： \\ Lnz=lnz+2k\pi i下面两式不成立： \\ Ln{z}^n=nLnz \\ Ln\sqrt[n]{z}=\frac{1}{n}Lnz \end{gathered}$$

2.3.3 幂函数

$$\begin{gathered} a,b为复数 \\ {a}^b=e^{bLna} \\ 有无穷个值 \end{gathered}$$

2.3.4 三角函数、双曲函数

$$\begin{gathered} cosz=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} \\ sinz=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} \\ chz=\frac{e^z+e^{-z}}{2} \\ shz=\frac{e^z-e^{-z}}{2} \\ thz=\frac{e^z-e^{-z}}{e^z+e^{-z}} \\ (chz{)}^{\prime }=shz \\ (shz{)}^{\prime }=chz \\ chiy=cosy \\ shiy=ishy \end{gathered}$$

2.3.5 反三角函数、反双曲函数

$$\begin{gathered} Arccosz=-iLn(z+\sqrt{z^2-1}) \\ Arcsinz=-iLn(iz+\sqrt{1-z^2}) \\ Arctgz=-\frac{i}{2}Ln\frac{1+iz}{1-iz} \\ Arshz=Ln(z+\sqrt{z^2+1}) \\ Archz=Ln(z+\sqrt{z^2-1}) \\ Arthz=\frac{1}{2}Ln\frac{1+z}{1-z} \end{gathered}$$

2.4 平面场的复势