复变函数第二章-解析函数

文章目录

  • 2 复变函数第二章-解析函数
    • 2.1概念
    • 2.2 函数解析充要条件
    • 2.3 初等函数
      • 2.3.1 初等函数
      • 2.3.2 对数函数
      • 2.3.3 幂函数
      • 2.3.4 三角函数、双曲函数
      • 2.3.5 反三角函数、反双曲函数
    • 2.4 平面场的复势

2 复变函数第二章-解析函数

2.1概念

可导,可微。

如果f(z)在z0及z0的邻域内处处可导,那么称f(z)在z0解析。不解析的点称为奇点。

区域内解析 ⟺ \Longleftrightarrow 区域内可导

但 一点处可导与一点处解析不等价

2.2 函数解析充要条件

f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内(一点(x,y))可导 ⟺ \Longleftrightarrow u(x,y),v(x,y)在点(x,y)可微且满足柯西黎曼方程:
∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y = − ∂ v ∂ x \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\ \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x} xu=yvyu=xv

2.3 初等函数

2.3.1 初等函数

e z = e x ( c o s y + i s i n y ) ∣ e z ∣ = e x A r g ( e z ) = y + 2 k π e z 1 e z 2 = e z 1 + z 2 e^z=e^x(cosy+isiny)\\ |e^z|=e^x\\ Arg(e^z)=y+2k\pi\\ e^{z_1}e^{z_2}=e^{z_1+z_2} ez=ex(cosy+isiny)ez=exArg(ez)=y+2kπez1ez2=ez1+z2

2.3.2 对数函数

e w = z , w = u + i v , z = r e i θ w = L n z = l n ∣ z ∣ + i A r g z 主 值 : l n z = l n ∣ z ∣ + i a r g z 其 余 可 由 下 式 得 出 : L n z = l n z + 2 k π i 下 面 两 式 不 成 立 : L n z n = n L n z L n z n = 1 n L n z e^w=z,w=u+iv,z=re^{i\theta}\\ w=Lnz=ln|z|+iArgz\\ 主值:lnz=ln|z|+iargz\\ 其余可由下式得出:\\Lnz=lnz+2k\pi i 下面两式不成立:\\ Lnz^n=nLnz\\ Ln\sqrt[n]z=\frac{1}{n}Lnz ew=z,w=u+iv,z=reiθw=Lnz=lnz+iArgzlnz=lnz+iargzLnz=lnz+2kπiLnzn=nLnzLnnz =n1Lnz

2.3.3 幂函数

a , b 为 复 数 a b = e b L n a 有 无 穷 个 值 a,b为复数\\ a^b=e^{bLna}\\ 有无穷个值 a,bab=ebLna

2.3.4 三角函数、双曲函数

c o s z = e i z + e − i z 2 s i n z = e i z − e − i z 2 i c h z = e z + e − z 2 s h z = e z − e − z 2 t h z = e z − e − z e z + e − z ( c h z ) ′ = s h z ( s h z ) ′ = c h z c h i y = c o s y s h i y = i s h y cosz=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\\ sinz=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\\ chz=\frac{{e^z}+e^{-z}}{2}\\ shz=\frac{{e^z}-e^{-z}}{2}\\ thz=\frac{e^z-e^{-z}}{e^z+e^{-z}}\\ (chz)'=shz\\ (shz)'=chz\\ chiy=cosy\\ shiy=ishy cosz=2eiz+eizsinz=2ieizeizchz=2ez+ezshz=2ezezthz=ez+ezezez(chz)=shz(shz)=chzchiy=cosyshiy=ishy

2.3.5 反三角函数、反双曲函数

A r c c o s z = − i L n ( z + z 2 − 1 ) A r c s i n z = − i L n ( i z + 1 − z 2 ) A r c t g z = − i 2 L n 1 + i z 1 − i z A r s h z = L n ( z + z 2 + 1 ) A r c h z = L n ( z + z 2 − 1 ) A r t h z = 1 2 L n 1 + z 1 − z Arccosz=-iLn(z+\sqrt{z^2-1})\\ Arcsinz=-iLn(iz+\sqrt{1-z^2})\\ Arctgz=-\frac{i}{2}Ln\frac{1+iz}{1-iz}\\ Arshz=Ln(z+\sqrt{z^2+1})\\ Archz=Ln(z+\sqrt{z^2-1})\\ Arthz=\frac{1}{2}Ln\frac{1+z}{1-z} Arccosz=iLn(z+z21 )Arcsinz=iLn(iz+1z2 )Arctgz=2iLn1iz1+izArshz=Ln(z+z2+1 )Archz=Ln(z+z21 )Arthz=21Ln1z1+z

2.4 平面场的复势

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