图论基础知识(四) —— 有向图

定义

定义1：有向图

设V是一个非空集合，A是一个由V中元素的有序对构成的多重集，有序对D = 称为一个有向图，其中，V称为顶点集，其中的元素称为顶点或点；A称为弧集，其中的元素是弧。

  由定义可见，有向图和无向图的区别仅仅在于有向图的弧集是有序对的多重集，而无向图的边集是无序顶点对的多重集，无向图的一切概念均可平移到有向图。

定义2：入度、出度

设D是一个有向图，D中顶点$v$的入度$d_D^{-}(v)$是指以$v$为头的弧的数目，v的出度$d_D^{+}(v)$是指以$v$为尾的弧的数目，$v$的度$d_D(v)$则是入度和出度之和，我们用${\delta }^{-}(D)、{\Delta }^{-}(D)、{\delta }^{+}(D)、{\Delta }^{+}(D)$分别表示D中顶点的最小和最大入度、最小和最大出度，并和以前一样，用$\delta (D)，\Delta (D)$分别表示D中顶点的最小度和最大度，并用$v(D)，ϵ(D)$表示D中的顶点数和弧数。

定义3：双向连通、单/双向连通图

如果有向图D中存在(u,v)-路，则称v是从u可达的，如果u，v是相互可达的，则称u，v是双向连通的，若对D中任何两顶点，至少有一顶点可从另一顶点到达，则称D是单向连通图，若D中任何两顶点都是双向连通的，则称D是双向连通图或强连通图。

定义4：竞赛图

若有向图D中每个顶点之间恰有一条弧，则称D为竞赛图，显然，D是竞赛图当且仅当D是完全图的定向图。

定理

定理1

设D是有向图，则D中顶点的入度之和与出度之和均为ε即
$$\sum _{v\in V}{d}^{-}(v)=\sum _{v\in V}{d}^{+}(v)=ϵ$$