海盗分金币

海盗分金问题，前提都是一样的：1．所有的海盗都足够聪明，而且足够理智；2．提出方案人的顺序抽签决定，抽签后顺序不再变化；3．提出方案的人要使自己获得最大利益。4．海盗也很残忍，在自己利益能保证的情况下，非常愿意看到同伴倒霉（被扔进大海）

　　先来看第一题，5个海盗分100个金币，我们可以把这个题目称为1.0版。题目是这样的：5个海盗分100个金币,每个人可以提出一个方案,大多数人同意方案才能通过（注意这一条，就是支持率必须大于50%）,如果第一个人的方案通过了，OK，按此方案执行，分配结束。但如果这个方案没有通过，这个人就要被扔进海里喂鲨鱼,然后由第二个人继续提出他的方案，依次类推。现在的问题是：抽中1号的海盗怎么能保住自己的小命又能获得最大利益？

　　要解决这类问题，就要使用从后向前推的方法。如果1－3号强盗都喂了鲨鱼，只剩4号和5号的话，5号一定投反对票让4号喂鲨鱼，以独吞全部金币。所以，4号惟有支持3号才能保命。3号知道这一点，就会提（100，0，0）的分配方案，对4号、5号一毛不拔而将全部金币归为已有，因为他知道4号一无所获但还是会投赞成票，再加上自己一票，他的方案即可通过。不过，2号推知到3号的方案，就会提出（98，0，1，1）的方案，即放弃3号，而给予4号和5号各一枚金币。由于该方案对于4号和5号来说比在3号分配时更为有利，他们将支持他而不希望他出局而由3号来分配。这样，2号将拿走98枚金币。不过，2号的方案会被1号所洞悉，1号并将提出（97，0，1，2，0）或（97，0，1，0，2）的方案，即放弃2号，而给3号一枚金币，同时给4号（或5号）2枚金币。由于1号的这一方案对于3号和4号（或5号）来说，相比2号分配时更优，他们将投1号的赞成票，再加上1号自己的票，1号的方案可获通过，97枚金币可轻松落入囊中。这无疑是1号能够获取最大收益的方案了。

　　这道题，开始觉得很复杂，实际只要理清思路，其实还是不难解决的。但问题不是都这么简单的。

　　现在我们来看第二个版本海盗分金的问题，这次把通过方案的方法从“大多数人同意方案才能通过”变成“获得半数或者半数以上人同意的方案就可以通过”，也就是说支持率达到50%就可以，其他条件不变。结果会怎么样呢？这个问题有由3个不同的问题组成，我把他们称做2.0, 2.1, 2.2版本问题.

　　先看2.0版的，就是还是5个海盗，100个金币。因为在2.x版本的问题中，海盗的人数不是固定的，所以我们把编号方法也“颠倒”过来，也就是说最后一个出方案的是1号海盗，然后是2号，3号，依次类推，由编号最高的海盗先提出方案。5名海盗就是由5号海盗先提方案，然后是4号，3号，2号，1号。

　　要解决这个问题，我们的出发点还是要从只最后剩两名海盗开始。2号海盗的分配方案是一目了然的：100块金子全归他一人所有，1号海盗什么也得不到。由于他自己肯定为这个方案投赞成票，这样就占了总数的50%，因此方案获得通过。在这个题目里面，1号海盗永远得不到任何提出方案的机会。

　　现在回到3号海盗。1号海盗知道，如果3号的方案被否决，那么最后将只剩2个海盗，而自己将肯定一无所获；此外，3号也明白1号了解这一形势。因此，只要3号的分配方案给1号一点甜头使他不至于空手而归，那么不论3号提出什么样的分配方案，1号都将投赞成票。因此3号需要分出尽可能少的一点金子来贿赂1号海盗。这样就有了下面的分配方案： 3号海盗分得99块金子，2号海盗一无所获，1号海盗得1块金子。1号支持，2/3同意，方案通过。

　　4号海盗的策略也差不多。他需要有50%的支持票，因此同3号一样也需再找一人做同党。他可以给同党的最低贿赂是1块金子，而他可以用这块金子来收买2号海盗。因为如果4号被否决而3号得以通过，则2号将一无所获。因此，4号的分配方案应是：99块金子归自己，3号一块也得不到，2号得1块金子，1号也是一块也得不到。2号支持，半数同意，方案通过。

　　5号海盗的策略稍有不同。他需要收买另两名海盗，否则反对者就会超过半数。因此至少得用2块金子来贿赂，才能使自己的方案得到采纳。他的分配方案应该是：98块金子归自己，1块金子给3号，1块金子给1号。因为这是3号和1号能得到的最好结果，他们肯定会同意，60%同意，方案通过。

　　如果人数再多呢？这就有了这个问题的一个升级版，我们把他称为2.1版。2.1版的不同点在于把海盗的人数从5个人提高到10人，第一个海盗会怎样提出方案呢？

 　　这道题解决起来很容易，分析过程可以照着2.0版，也就5个海盗的思路继续进行下去。

　　每个分配方案都是唯一确定的，它可以使提出该方案的海盗获得尽可能多的金子，同时又保证该方案肯定能通过。照这一模式进行下去，10号海盗提出的方案将是96块金子归他所有，其他编号为偶数的海盗各得1块金子，而编号为奇数的海盗则什么也得不到。这就解决了10名海盗的分配难题。

　　这个问题，海盗的人数可以一直增加到200人，方法都是一样。

　　但是，如果海盗的人数继续增多呢？这就出现了这个问题的2.2版，有500名海盗参加分配，结果如何呢？

　　通过上面的分析，我们发现前面所述的规律直到第200号海盗都成立。 200号海盗的方案将是：从1到199号的所有奇数号的海盗都将一无所获，而从2到198号的所有偶数号海盗将各得1块金子，剩下的1块金子归200号海盗自己所有。结果肯定是半数支持，方案通过。

　　那么，当海盗的人数超过200人呢？这个规律还使用吗？乍看起来，这一论证方法到200号之后将不再适用了，因为201号拿不出更多的金子来收买其他海盗。但是即使分不到金子，201号至少还希望自己不会被扔进海里，因此他可以这样分配：给1到199号的所有奇数号海盗每人1块金子，自己一块也不要。

　　202号海盗同样别无选择，只能一块金子都不要了——他必须把这100块金子全部用来收买100名海盗，而且这100名海盗还必须是那些按照201号方案将一无所获的人。所以他的方案只能是偶数编号的海盗，除自己之外每人1块金子，自己不要。

　　 203号海盗必须获得102张赞成票，但他显然没有足够的金子去收买101名同伙。因此，无论提出什么样的分配方案，他都注定会被扔到海里去喂鱼。

　　按理说，203号以后的海盗都面临和他一样的命运，都将难逃被抛入大海的命运。但仔细分析一下，发现问题并不是那么简单。因为如果只有203个海盗参与分配提案和分配，203号命中注定死路一条，但如果海盗人数超过了203人，他在游戏进程中还是能起到一定作用的。而这就给了204号活命的机会。204号现在知道，203号为了能保住性命，就必须避免由他自己来提出分配方案这么一种局面，所以无论204号海盗提出什么样的方案，203号都一定会投赞成票。这样204号海盗总算侥幸拣到一条命：他可以得到他自己的1票、203号的1票、以及另外100名收买的海盗的赞成票，刚好达到保命所需的50%。获得金子的海盗，必属于根据202号方案肯定将一无所获的那101名海盗之列。

　　205号海盗的命运又如何呢？他可没有这样走运了。他不能指望203号和204号支持他的方案，因为如果他们投票反对205号方案，就可以幸灾乐祸地看到205号被扔到海里去喂鱼，而他们自己的性命却仍然能够保全。这样，无论205号海盗提出什么方案都必死无疑。206号海盗也是如此——他肯定可以得到205号的支持，但这不足以救他一命。类似地，207号海盗需要104张赞成票——除了他收买的100张赞成票以及他自己的1张赞成票之外，他还需3张赞成票才能免于一死。他可以获得205号和206号的支持，但还差一张票却是无论如何也弄不到了，因此207号海盗的命运也是下海喂鱼。

　　208号又时来运转了。他需要104张赞成票，而205、206、207号都会支持他，加上他自己一票及收买的100票，他得以过关保命。获得他贿赂的必属于那些根据204号方案肯定将一无所获的人（候选人包括2到200号中所有偶数号的海盗、以及201、203、204号）。

　　现在可以看出一条新的、此后将一直有效的规律：那些方案能过关的海盗（他们的分配方案全都是把金子用来收买100名同伙而自己一点都得不到）相隔的距离越来越远，而在他们之间的海盗则无论提什么样的方案都会被扔进海里——因此为了保命，他们必会投票支持比他们编号靠后的海盗提出的任何分配方案。得以避免葬身鱼腹的海盗包括201、202、204、208、216、232、264、328、456号，即其号码等于200加2的N次幂的海盗。

　　现在我们来看看哪些海盗是获得贿赂的幸运儿。分配贿赂的方法是不唯一的，其中一种方法是让201号海盗把贿赂分给1到199号的所有奇数编号的海盗，让202号分给2到200号的所有偶数编号的海盗，然后是让204号贿赂奇数编号的海盗，208号贿赂偶数编号的海盗，如此类推，也就是轮流贿赂奇数编号和偶数编号的海盗。

　　结论是：当500名海盗运用最优策略来瓜分金子时，最先提出方案的44名海盗，就是排号在457到500的海盗必死无疑，无论他们提出的方案怎么样。而456号海盗则给从1到199号中所有奇数编号的海盗每人分1块金子，问题就解决了。由于这些海盗所实行的那种民主制度，他们的事情就搞成了最先获得提案机会的一批海盗多半都是下海喂鱼，不过有时他们也会觉得自己很幸运——虽然分不到抢来的金子，但总可以免于一死。只有有机会在最后提案的200名海盗有可能分得一份脏物，而他们之中又只有一半的人能真正得到一块金子。