[洛谷模拟赛T2]画地为佬——[简单数学]

【题意分析】

题意：用$n$根火柴棒最多可以摆成几个正方形，不一定要用完火柴棒

首先明确摆法是贴着边一个一个摆下来的，摆法有很多而且都是等价的，我是这么摆的：

那么正方形就是一层一层地摆下来的，那么接下来有两种求法：

每一层比前一层多摆4根火柴，那么根据数列知识：

$$a_1=4,a_{n+1}-a_n=4(n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$$

$$\Rightarrow S_n=2n^2+2n$$

或者直接观察：前n层火柴总和就是$2\ast n\ast (n+1)=2n^2+2n$

那么我们需要解出给你的火柴根数最多可以摆出几层。

$$2n^2+2n\ge x$$

$$\Rightarrow n\ge \frac{-2+\sqrt{4+8x}}{4}$$

那你floor一下就好了，我们设这个层数为n

求出剩下还有$x-(2n^2+2n)$根火柴

接下来你就分类讨论：因为开始的那个正方形需要3根

接下来一段都是两根一个：

下面这个是三根：

剩下的一段全都是两根一个：

这样就好了，每次询问回答是$O(1)$的

时间复杂度$O(T)$

Code：

#pragma GCC optimize (2)
#pragma GCC optimize ("Ofast")
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define int long long
using namespace std;

inline int read () {
	register int s = 0, w = 1;
	register char ch = getchar ();
	while (! isdigit (ch)) {if (ch == '-') w = -1; ch = getchar ();}
	while (isdigit (ch)) {s = (s << 3) + (s << 1) + (ch ^ 48); ch = getchar ();}
	return s * w;
}

signed main () {
	int T = read ();
	for (register int I = 1; I <= T; ++I) {
		int x = read (), layer = floor ((double) ((sqrt (4 + 8 * x) - 2) / 4));
		if (x <= 4) {printf ("%d\n", x / 4); continue;}
		x -= 2 * layer * layer + 2 * layer; int res = layer * layer;
		if (x <= 2) printf ("%lld\n", res);
		else if (x <= 3 + (layer - 1) * 2) printf ("%lld\n", res + 1 + (x - 3) / 2);
		else if (x < 6 + (layer - 1) * 2) printf ("%lld\n", res + layer);
		else if (x == 6 + (layer - 1) * 2) printf ("%lld\n", res + layer + 1);
		else printf ("%lld\n", res + (x - 6) / 2 + 2);
	}
	return 0;
}