模拟退火算法（Simulated Annealing，SA）的全面讲解及python实现

1. 抽象来源：美国物理学家Metropolis等人在1953年发表研究复杂系统，计算其中能量分布的文章时，使用蒙特卡洛模拟法计算多分子系统中分子能量分布。Kirkpatrick等人受其启发而发明了“模拟退火”这个名词，它模仿冶金过程中的退火原理，因为寻找问题的最优解（最值）即类似寻找系统的最低能量。因此系统降温时，能量也逐渐下降，而同样意义地，问题的解也“下降”到最值
2. 核心思想：在冶金退火过程中，退火（annealing）现象指物体逐渐降温的物理现象，温度愈低，物体的能量状态会低，系统内部分子的平均动能逐渐降低，分子在自身位置附近的扰动能力也随之下降，即分子自身的搜索范围随着温度的下降而下降。足够低后，液体开始冷凝与结晶，在结晶状态时，系统的能量状态最低。但是，如果过程过急过快，快速降温（亦称「淬炼」，quenching）时，会导致不是最低能态的非晶形。利用该特性，我们可以对给定状态空间（待求解空间）内的某个状态产生函数（待求解函数）的最值进行求解。在高温状态下，由于分子的扰动能力较强，对较差状态（远离最值所对应的状态）的容忍性高，因此可以在给定状态空间内进行全局的随机搜索，从而有较高概率跳出局部极值。随着温度的逐渐下降，分子的扰动能力减弱，对较差状态的容忍性随之降低，导致此时的全局随机搜索能力下降，相应地对局部极值的搜索能力上升。综合整个退火过程，在理想情况下，最终解应该对应于给定状态空间内的最值。
3. 物理过程图示：如下图所示，首先（左图）物体处于非晶体状态。我们将固体加温至充分高（中图），再让其徐徐冷却，也就退火（右图）。加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小（此时物体以晶体形态呈现）。

4. 最优化过程图示：想象一下如果我们现在有下面这样一个函数，现在想求函数的（全局）最优解。如果采用Greedy策略，那么从A点开始试探，如果函数值继续减少，那么试探过程就会继续。而当到达点B时，显然我们的探求过程就结束了（因为无论朝哪个方向努力，结果只会越来越大）。最终我们只能找到一个局部最后解B。模拟退火其实也是一种Greedy算法，但是它的搜索过程引入了随机因素。模拟退火算法以一定的概率来接受一个比当前解要差的解，因此有可能会跳出这个局部的最优解，达到全局的最优解。以上图为例，模拟退火算法在搜索到局部最优解B后，会以一定的概率接受向右继续移动。也许经过几次这样的不是局部最优的移动后会到达B 和C之间的峰点，于是就跳出了局部最小值B

5. 迭代公式：根据Metropolis准则，系统温度为T时，出现能量差为dE的降温概率为：

      (1)

这条公式就表示：温度越高，出现一次能量差为dE的降温的概率就越大；温度越低，则出现降温的概率就越小。又由于dE总是小于0（因为退火的过程是温度逐渐下降的过程），因此。

以该降温概率为基础，采用状态转移概率来表示对较差状态的容忍性：

       (2)

其中，为状态产生函数，因此。常数k通过改变温度T的取值范围而被忽略，即式（1）中的等效于式（2）中的T

注意：在求取最值的过程中，存在两类可接受解：

1）更优解---BS（较当前状态更加接近最值的状态）；

2）容忍解---TS（较当前状态更加远离最值的解）。

前者的接受概率为1，后者的接受概率为状态转移概率p(∆f)，且必须保证p(∆f)∈(0,1)

求最小值：

求最大值：

6. 算法简要总结(以求最小值为例)：若(即移动后得到更优解)，则总是接受该移动；若 (即移动后的解比当前解要差)，则以一定的概率接受移动，而且这个概率随着时间推移逐渐降低（逐渐降低才能趋向稳定）相当于上图中，从B移向BC之间的小波峰时，每次右移（即接受一个更糟糕值）的概率在逐渐降低。如果这个坡特别长，那么很有可能最终我们并不会翻过这个坡。如果它不太长，这很有可能会翻过它，这取决于衰减t值的设定。

算法流程：

 

7. 代码示例：

示例函数（求最大值）：

完整代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import random


class SA(object):
    def __init__(self, interval, tab='min', T_max=1000, T_min=1, iterMax=1000, rate=0.95):
        self.interval = interval  # 状态空间，即解的搜索范围
        self.T_max = T_max  # 温度上限
        self.T_min = T_min  # 温度下限
        self.iterMax = iterMax  # 定温内部迭代次数
        self.rate = rate  # 退火降温速度
        self.x_seed = random.uniform(interval[0], interval[1])
        self.tab = tab.strip()  # 求解最大值还是最小值的标签:‘min','max'
        self.solve()
        self.display()

    def solve(self):
        temp = 'deal_' + self.tab
        if hasattr(self, temp):
            deal = getattr(self, temp)  # 采用反射方法提取对应的函数
        else:
            exit(">>>tab标签传参有误：'min'|'max'<<<")
        x1 = self.x_seed
        T = self.T_max
        while T >= self.T_min:
            for i in range(self.iterMax):
                f1 = self.func(x1)
                delta_x = random.random()*2-1
                if self.interval[0] <= x1+delta_x <= self.interval[1]:
                    x2 = x1 + delta_x
                else:
                    x2 = x1 - delta_x
                f2 = self.func(x2)
                delta_f = f2 - f1
                x1 = deal(x1, x2, delta_f, T)
            T *= self.rate
        self.x_solu = x1
        self.f_solu = self.func(x1)

    def func(self, x):
        value = np.sin(x**2)*(x**2-5*x)
        return value

    def p_min(self, delta, T):
        probability = np.exp(-delta/T)
        return probability

    def p_max(self, delta, T):
        probability = np.exp(delta/T)
        return probability

    def deal_min(self, x1, x2, delta, T):
        if delta < 0:
            return x2
        else:
            p = self.p_min(delta,T)
            if p > random.random():
                return x2
            else:
                return x1

    def deal_max(self, x1, x2, delta, T):
        if delta > 0:
            return x2
        else:
            p = self.p_max(delta, T)
            if p > random.random():
                return x2
            else:
                return x1

    def display(self):
        print(f'seed: {self.x_seed}\nseed_funtion value: {self.func(self.x_seed)}\nsolution: {self.x_solu}\nfunction value: {self.f_solu}')
        plt.figure(figsize=(6, 4))
        x = np.linspace(self.interval[0], self.interval[1])
        y = self.func(x)
        plt.plot(x,y,'g-',label='function')
        plt.plot(self.x_seed,self.func(self.x_seed),'bo',label='seed')
        plt.plot(self.x_solu,self.func(self.x_solu),'r*',label='solution')
        plt.title(f'solution={self.x_solu}')
        plt.xlabel('x')
        plt.ylabel('y')
        plt.legend()
        plt.show()
        plt.close()

if __name__ == '__main__':
    SA([-5,5],'max')

输出结果：

seed: 2.2204847770394913

seed_funtion value: 6.025576576848058

solution: -4.50428520583421

function value: 42.43890315917159

 

参考博客网址：

https://blog.csdn.net/weixin_40562999/article/details/80853354

https://www.cnblogs.com/xxhbdk/p/9192750.html