n=∑ϕ(d) (d|n) 的证明

- section 1

证明 n=∑d|nϕ(d)
设 n=Πmi=1paii ．
由于欧拉函数是积性函数，有

∑d|nϕ(d)=∑Πmi=1ϕ(pij)(0≤j≤ai)

因式分解，上式等价于

Πmi=1(∑j=0aiϕ(pij))=Πmi=1(∑j=1ai(pij−pij−1)+1)=Πmi=1piai=n

命题得证。

- section 2

由于koishi514太强了，所以给出他告诉我的一种办法。
列出

1n,2n,3n,⋯,nn

一共 n 个分数，再将他们化简．
最简分数 ab 在上面出现的话，当且仅当 b|n且(a,b)=1 。
那么以 b 为分母的分数共 ϕ(b) 个。
分母一共被划分为 ∑d|n1 份．
所以

n=∑d|nϕ(d)