C语言写一个斐波那契数列

  下午正好有人问到这个问题，所以就写一个。
  斐波那契数列的实现我们可以很快想到——递推，即当前项等于前两项的和。但是这样还是略微令人不愉快，它是$O(n)$的（虽然uint64也只能算到93项…性能差距不明显），我们有没有更快的方法呢？此时就该求助于数学了。
  简单的递归数列可以一般性的表示为
$$x_{n+k}={\lambda }_1{x}_{n+k-1}+{\lambda }_2{x}_{n+k-2}+\cdot \cdot \cdot +{\lambda }_n{x}_n+q$$  在初始值确定的时候，它被叫做$k$阶常系数递归数列。而这样的一个k次方程就被称作上式的特征方程：
$$x^k={\lambda }_1{x}^{k-1}+{\lambda }_2{x}^{k-2}+\cdot \cdot \cdot +{\lambda }_{k-1}x+{\lambda }_k$$  对应的斐波那契数列表示为$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n,n>2$，初始项为$a_1=a_2=1$，是确定的。它的特征方程就是：
$$x^2=x+1$$  对应的，按照二元一次方程的求根公式，这个方程的根就是：$$\{\begin{array}{rl}{x}_1& =\alpha =\frac{1+\sqrt{\Delta }}{2}\\ x_2& =\beta =\frac{1-\sqrt{\Delta }}{2}\end{array}$$  其中的$\Delta =\sqrt{5}$，很显然，该方程具有两个不相等的实数根。我们设$A,B$为待定系数，且满足：
$$a_n=A{\alpha }^{n-1}+B{\beta }^{n-1}$$  因此：  $$\{\begin{array}{rl}{a}_1& =A+B\\ a_2& =\alpha A+\beta B\end{array}$$  所以得到：$$\{\begin{array}{rl}A& =\frac{a_2-\beta a_1}{\alpha -\beta }=\frac{1+\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}\\ B& =-\frac{a_2-\alpha a_1}{\alpha -\beta }=-\frac{1-\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}\end{array}$$  这样就能得到$a_n$了：$$\begin{array}{rl}{a}_n& =A{\alpha }^{n-1}+B{\beta }^{n-1}\\ & =\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}\right){\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^{n-1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}\right){\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^{n-1}\\ & =\frac{1}{\sqrt{5}}\left[{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n\right]\end{array}$$  这就是我们得到的最终结果：$$a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n\right]$$  开始写程序。需要注意的是，因为运算精度的问题，我们需要做一定的舍入处理，即程序里面的 + 0.5。经过测试，这个程序可以计算这个数列的前93项：

#include 
#include 
#include 
typedef unsigned long long int uint64;
uint64 fib(int n)
{
    double r;
    const double q5 = sqrt(5.0);
    assert(n <= 93);                            // 93项后超过uint64
    r = pow((1 + q5) * 0.5, n) - pow((1 - q5) * 0.5, n);
    return (uint64)(r / q5 + 0.5);
}
int main(void)
{
    int i;
    for (i = 1; i <= 93; i++)
    {
        auto t = fib(i);
        printf("a[%2d] = %llu\n", i, fib(i));
    }
    return 0;
}

  针对于文中的推导过程，实际上我们考虑的是$x^2=px+q$这个特征方程的两根不等的情况。