求n的阶乘结果末尾含零的个数--记一次华为技术交流面试

    上午华为来学校开研发职业介绍会，到会者有机会与技术人员进行技术交流，被问了一道题：如何求n的阶乘的结果中末尾0的个数，写一个函数。

 

     当时绞尽脑汁，列举各种相乘产生0的情况，我当时想，只有5与偶数相乘和能被10整除的数。于是我思路便卡在了这儿，认为这是两种独立的情况，简单化了认为逢5逢10都会产生一个0，于是想当然的写出了只有一条返回语句的函数：  return n/5;

     主考官看了下，说不对，于是我又开始列举，想了好半天，才发现当20*50的时候，会多产生一个零，然后100本身会产生两个零。我又想当然地认为只要当n小于10时return n/5;或当n为10-100之间时return n/5+n/50或当n为100-1000之间的时候return n/5+n/50+n/500。。。。就可以了，但即使是这样，我还是没办法写出这个函数，后来觉得这样去思考这个问题，有点把问题复杂化的感觉，其实应该从程序的思维出发，利用程序能够循环，能够迭代的特点去简单化一个问题，而不是用数学归纳，把问题越分解越复杂。然后主考官问我n=100的情况有多少个零，我用刚才归纳的n/5+n/50一算得到22，他说答案是24, 我追问我哪儿漏了，他只让我自己回去想。

     结果回到宿舍往床上一躺才突然发现，5与偶数相乘便产生一个0，由于偶数比5要多多了。再想想，原来自己漏掉了25和75这两个数，而这两个数之所以会多产生个0是因为其可以拆分出两个5的相乘，其实所谓的逢5逢10，本质上都是逢5，因为10也是5*2，任何带零的数之所以能够产生尾数0正是因为它能拆出一个5来。 于是问题便简单化了，把所有数字遍历一遍，检验所有的数能拆出几个5来，并将这个数加到一个整数count里便行了，初步的程序为：

 

 int cal_zero(int n)
{
   int count=0;
   while(n>0)
      {
          int m=n;
          n--;
          while(m%5==0 && m>0)
              { 
                  count++;
                  m=m/5;
               }
        }
   return count;
}

 

     分析下这个程序，虽然可以计算出来，但是要遍历1-n中的每一个整数（第一个while循环），然后每个整数都要进行一到多次的除以5运算（第二个while循环） ，非常耗时。后来在迷迷糊糊的睡梦中，又突然想到只要把每个5的倍数进行循环处理不就行了，第一个while循环可以改良为while(n%5==0 && n>0),原来每遍历5个，现在只要1个，但转念一想，既然这所有的5的倍数都肯定可以为count加1， 是不是可以将while循环改为while(n/5)得到1到n整数里能被5整除的个数，将count加上这个数，然后再分析这里这里面能被5整除的数是否除以5以后还能再被5整除。

     我理清下思路，考虑100以内的数，首先将所有能被5整除的数罗列出来，5，10，15，20，25，...，100。然后将这些数都除以5，提取出20个5，故可得到20个零。以后，得到1，2，3，...20。 再将这些数中能被5整除的数罗列出来，5，10，15，20。提取出4个零，得到1，2，3，4。再无法提供，便不再递归。而这递归本质上就是100/5=20，20/5=4, 4/5=0.  20+4+0=24.写程序如下：

int cal_zero_2(int n)
{
    int count=0;
    while(n/5>0)
       {
           count+=n/5;
           n=n/5;
        }
     return count;
}

 

    相比前面的程序，这个要简单多得多。n=100时，前面程序外层while要走100次，内层逢25，50，75，100还要走2次，其他的都1次。第二个程序总共走3次。