逻辑回归
摘要：逻辑回归主要解决分类，利用sigmoid 函数 转化为区间（0，1） 可用来语音识别，图像识别等识别方面，也可用来广告点击。
1. 定义
给定一些数据点，它们分别属于两个不同的类，现在要找到一个线性分类器把这些数据分成两类。如果用x表示数据点，用y表示类别（y可以取1或者-1，分别代表两个不同的类），一个线性分类器的学习目标便是要在n维的数据空间中找到一个超平面（hyper plane），这个超平面的方程可以表示为（ ωT中的T代表转置）：
可能有小伙伴对类别取1或-1有疑问，事实上，这个1或-1的分类标准起源于logistic回归。
Logistic回归目的是从特征学习出一个0/1分类模型，而这个模型是将特性的线性组合作为自变量，由于自变量的取值范围是负无穷到正无穷。因此，使用logistic函数（或称作sigmoid函数）将自变量映射到(0,1)上，映射后的值被认为是属于y=1的概率。
假设函数
其中x是n维特征向量，函数g就是logistic函数。
而
的图像是
可以看到，将无穷映射到了(0,1)。
而假设函数就是特征属于y=1的概率。
从而，当我们要判别一个新来的特征属于哪个类时，只需求hωx即可，若 hωx大于0.5就是y=1的类，反之属于y=0类。
2. 损失函数
2.1 损失函数定义
逻辑回归和线性回归最大的区别就是：逻辑回归解决的是分类问题，得到的y要么是1，要么是0。而我们估计出来的p是概率，通过概率决定估计出来的p到底是1还是0。因此，也可以将损失函数分成两类：
如果给定样本的真实类别y=1，则估计出来的概率p越小，损失函数越大（估计错误）
如果给定样本的真实类别y=0，则估计出来的概率p越大，损失函数越大（估计错误）
那么将用什么样的函数表示这两种情况呢，可以使用如下函数：
辑回归的模型为h0x;ω ,假设现在有样本{xi, yi},其中xi表示样本的特征，yi∈{0,1}表示样本的分类真实值，yi=1的概率是pi,则yi=0的概率是1−pi，那么观测概率为:
则最大似然函数为:
对这个似然函数取对数之后就会得到的表达式
实际操作中一般会加个负号改为求最小. 估计这个J(ω)的极大值就可以得到ω的估计值。
逻辑回归的损失函数不是定义出来的，而是根据最大似然估计推导出来的。
2.2 损失函数优化
求解损失函数最小问题就变成了这个最大似然函数的最优化问题，这里通常会采样随机梯度下降法（SGD）和拟牛顿迭代法来进行优化（牛顿法使用了二阶梯度，梯度下降仅仅是一阶梯度）。
- 梯度下降法
由于LR的损失函数为:
这样就变成了求min(Jω)
其中α为步长,直到Jω不能再小时停止
梯度下降法的最大问题就是会陷入局部最优，并且每次在对当前样本计算cost的时候都需要去遍历全部样本才能得到cost值，这样计算速度就会慢很多（虽然在计算的时候可以转为矩阵乘法去更新整个ω值）
- 随机梯度下降法
现在好多框架（mahout）中一般使用随机梯度下降法，它在计算cost的时候只计算当前的代价，最终cost是在全部样本迭代一遍之求和得出，还有他在更新当前的参数w的时候并不是依次遍历样本，而是从所有的样本中随机选择一条进行计算，它方法收敛速度快（一般是使用最大迭代次数），并且还可以避免局部最优，并且还很容易并行（使用参数服务器的方式进行并行）
这里SGD可以改进的地方就是使用动态的步长
- 其他优化方法
- 拟牛顿法（使用Hessian矩阵和cholesky分解）
- BFGS
- L-BFGS
优缺点：无需选择学习率α，更快，但是更复杂。
3. 过拟合
如果我们有很多的特性，在训练集上拟合得很好，但是在预测集上却达不到这种效果
- 减少feature个数（人工定义留多少个feature、算法选取这些feature）
- 正则化（为了方便求解，L2使用较多） 添加正则化之后的损失函数为:
同时ω的更新变为
注意：ω0不受正则化影响。
4. 多分类
关于LR的多分类，一般采用softmax。 假设离散型随机变量y的取值集合是1,2,..,k,输出当前样本下属于哪一类的概率，并且满足全部概率加起来=1
关于softmax和k个LR的选择
如果类别之间是否互斥（比如音乐只能属于古典音乐、乡村音乐、摇滚月的一种）就用softmax；如果类别之前有联系（比如一首歌曲可能有影视原声，也可能包含人声，或者是舞曲），这个时候使用k个LR更为合适。
5. LR优缺点
5.1 优点
- 实现简单；
- 分类时计算量非常小，速度很快，存储资源低；
5.2缺点
- 容易欠拟合，一般准确度不太高；
- 只能处理两分类问题（在此基础上衍生出来的softmax可以用于多分类），且必须线性可分（用一个线性函数可以将两类样本完全分开）；