Contrastive Loss 对比损失函数及梯度的计算

Contrastive loss 最初源于 Yann LeCunDimensionality Reduction by Learning an Invariant Mapping” CVPR 2006。
该损失函数主要是用于降维中,即本来相似的样本,在经过降维(特征提取)后,在特征空间中,两个样本仍旧相似;而原本不相似的样本,在经过降维后,在特征空间中,两个样本仍旧不相似。同样,该损失函数也可以很好的表达成对样本的匹配程度

Contrastive Loss 定义

在caffe的孪生神经网络(siamese network)中,其采用的损失函数是contrastive loss,这种损失函数可以有效的处理孪生神经网络中的paired data的关系。contrastive loss的表达式如下:
L ( W , ( Y , X 1 , X 2 ) ) = 1 2 N ∑ n = 1 N Y D W 2 + ( 1 − Y ) m a x ( m − D W , 0 ) 2 L(W, (Y, X_1, X_2))=\frac{1}{2N}\sum_{n=1}^NYD_W ^2+(1-Y)max(m-D_W,0)^2 L(W,(Y,X1,X2))=2N1n=1NYDW2+(1Y)max(mDW,0)2
其中 D W ( X 1 , X 2 ) = ∣ ∣ X 1 − X 2 ∣ ∣ 2 = ( ∑ i = 1 P ( X 1 i − X 2 i ) 2 ) 1 2 D_W(X_1, X_2)=||X_1 - X_2||_2 = (\sum^P_{i=1}{(X^i_1 - X^i_2)^2})^\frac{1}{2} DW(X1,X2)=X1X22=(i=1P(X1iX2i)2)21,代表两个样本特征 X 1 X_1 X1 X 2 X_2 X2 的欧氏距离(二范数) P P P 表示样本的特征维数, Y Y Y 为两个样本是否匹配的标签, Y = 1 Y=1 Y=1 代表两个样本相似或者匹配, Y = 0 Y=0 Y=0 则代表不匹配, m m m 为设定的阈值, N N N 为样本个数。

观察上述的contrastive loss的表达式可以发现,这种损失函数可以很好的表达成对样本的匹配程度,也能够很好用于训练提取特征的模型。

  • Y = 1 Y = 1 Y=1(即样本相似时),损失函数只剩下 L S = 1 2 N ∑ n = 1 N Y D W 2 L_S = \frac{1}{2N}\sum_{n=1}^NYD_W ^2 LS=2N1n=1NYDW2 ,即原本相似的样本,如果在特征空间的欧式距离较大,则说明当前的模型不好,因此加大损失。

  • Y = 0 Y = 0 Y=0(即样本不相似时),损失函数为 L D = 1 2 N ∑ n = 1 N ( 1 − Y ) m a x ( m − D W , 0 ) 2 L_D = \frac{1}{2N}\sum_{n=1}^N (1-Y)max(m-D_W,0)^2 LD=2N1n=1N(1Y)max(mDW,0)2 ,即当样本不相似时,其特征空间的欧式距离反而小的话,损失值会变大,这也正好符号我们的要求。

    [注意这里设置了一个阈值margin,表示我们只考虑不相似特征欧式距离在0~margin之间的,当距离超过margin的,则把其loss看做为0(即不相似的特征离的很远,其loss应该是很低的;而对于相似的特征反而离的很远,我们就需要增加其loss,从而不断更新成对样本的匹配程度)]
    Contrastive Loss 对比损失函数及梯度的计算_第1张图片

这张图表示的就是损失函数值与样本特征的欧式距离之间的关系,其中红色虚线表示的是相似样本的损失值,蓝色实线表示的不相似样本的损失值。

梯度计算

论文中使用stochastic gradient descent 来不断更新 D W D_W DW,不断减小loss,更好表达成对样本的匹配程度。
(这里我们先忽略累和操作,后面自己加上即可)

  • Y = 1(即样本相似时),损失函数为 L S = 1 2 N ∑ n = 1 N D W 2 L_S = \frac{1}{2N}\sum_{n=1}^ND_W ^2 LS=2N1n=1NDW2 ,此时计算梯度为:
    ∂ L S ∂ W = D W ∂ D W ∂ W \frac{\partial L_S}{\partial W} = D_W\frac{\partial D_W}{\partial W} \\ WLS=DWWDW

即分别对 X 1 X_1 X1 X 2 X_2 X2求偏导,更新梯度 :
在这里插入图片描述

  • Y = 0 (即样本不相似时),损失函数为 L D = 1 2 N ∑ ( 1 − Y ) m a x ( m − D W , 0 ) 2 L_D = \frac{1}{2N}\sum (1-Y)max(m-D_W,0)^2 LD=2N1(1Y)max(mDW,0)2,此时计算梯度为 :

    ∂ L D ∂ W = { 0 , D W > m − ( m − D W ) ∂ D W ∂ W , D W < m \frac{\partial L_D}{\partial W} = \left\{ \begin{matrix} &0 &, D_W > m \\ &-(m - D_W)\frac{\partial D_W}{\partial W} &, D_W < m \end{matrix}\right. WLD={0(mDW)WDW,DW>m,DW<m

同理,当 D W < m D_W < m DW<m时,分别对 X 1 X_1 X1 X 2 X_2 X2求偏导:
在这里插入图片描述

Spring Model Analogy 弹簧模型类比

弹簧模型公式:
F = − K X F = -KX F=KX
(F表示两点间弹簧的作用力,K是弹簧的劲度系数,X为弹簧拉伸或收缩的长度,弹簧静止状态时X=0)

论文中将该contrastive loss损失函数类比于弹簧模型:将成对的样本特征,使用该损失函数来表达成对样本特征的匹配程度。成对的样本特征之间(类比于图中的一个个点),我们假设这些点之间都有一个弹簧,弹簧静止时长度为0,点对之间无作用力。①对于样本相似的特征,相当于其间的弹簧产生了正位移X(X < m),即弹簧被拉伸了X的长度,此时两个相似特征(点)之间存在吸引力。②对于样本不相似的特征,相当于其间的弹簧产生的了负位移,即弹簧被压缩了,此时两个不相似特征之间存在排斥力。注意弹簧的特性:当两点之间弹簧位移超X>m时,此时,弹簧发生形变,此时两点之间视为没有吸引力了。具体如下图所示:

结合上面求梯度的公式也可以很好的理解该损失函数的思想,上面的 ∂ L S ∂ W \frac{\partial L_S}{\partial W} WLS ∂ L D ∂ W \frac{\partial L_D}{\partial W} WLD 代表两点间弹簧的作用力F, ∂ D W ∂ W \frac{\partial D_W}{\partial W} WDW 对应弹簧的劲度系数, D W D_W DW − ( m − D W ) -(m - D_W) (mDW)代表弹簧的缩放位移。
Contrastive Loss 对比损失函数及梯度的计算_第2张图片
上图显示了类比的弹簧系统。实心圆表示与中心点相似的点。空心圆圈代表不同的点。弹簧显示为红色曲折线。作用在点上的力以蓝色箭头显示。箭头的长度近似给出了力的强度。在右侧的两个图中,x轴是距离 D W D_W DW,y轴是损失函数的值。(a)中显示使用仅吸引attractonly弹簧连接到相似点的点。(b)表示相似点对的损失函数及其梯度。(c)表示该点仅与半径为m的圆内的不同点连接,仅具有m-repulse-only排斥弹簧连接到不相似的点。(d)显示不相似点对相关的损失函数及其梯度。(e)显示一个点被不同方向的其他点拉动,形成平衡的情况。

Reference:

  • Dimensionality Reduction by Learning an Invariant Mapping
  • https://blog.csdn.net/autocyz/article/details/53149760

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