背包问题Java

背包问题是动态规划类求解的一个典型问题，我们要先找到该问题的局部解然后扩展到全局解。这里讲解的是0-1背包。先看一下情景，假如一个小偷携带者一个可以放10kg重的背包，潜入一户人家行窃，家里有4个物品，每个物品只有1个。即价值v[] = {10, 40, 30, 50}，重量w[] = {5, 4, 6, 3}。如果超出这个重量背包就会断，就没法带出，但是家里面有很多物品，他们对应着不同的重量和不同的价值，有的可能很轻但价值很高（比如珠宝），有的很重但价值不高，要在背包重量有限的情况下收益最大，这种问题直接看和思考，在数量不多的情况下可以找到最佳的组合，但是代码该如何实现呢？先构建一个二维数组V[N][W]，行代表当前重量，列代表前?个物品，填充的数值即此时的价值，而且是当前情况下的最大价值。

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
item0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
item1	0
item2	0
item3	0
item4	0

如表，此时行列均为0，即第0列代表重量为0时的情况，第0行代表放0个物品的时候的情况。然后我们从第1行开始继续填值，第一行代表前1个物品的情况，也就是只有第一个物品，第一个物品重5，则当前背包容量>=5时候才能放入，即第1行第1，2，3，4列价值均为0，因为此时背包无法容纳物品1。而第6列时，除了物品1还剩余1kg，但是此时是第1列，只考虑前1个物品，因此没有其余物品能放入，后面均为10。

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
item0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
item1	0	0	0	0	0	10	10	10	10	10	10
item2	0
item3	0
item4	0

按照这种规则继续放入第2行，此时有2个物品，重量分别为5和4，价值为10和40，在第2行的第1，2，3列中，背包容量小于这2个物品，因此无法放入，价值为0。在第4列中，出现问题了，我们现在多了一个重量为4的物品，可以放入，但是到底该不该放入呢？这时候就是解决问题的关键，我们要考虑局部最优解，在背包为4的时候，如果放入，价值是40，不放入，那么物品1也放不进去，价值为0，即与他的相同列前一行进行比较，所以这时候需要放入物品2。第5列的时候，代表当前背包能容纳5kg，已放入4kg，另一个物品重5kg，因此在4+5=9kg之前，都只能放入物品2，最大价值为40。第9列时可以放入物品1，此时背包最大价值为当前已放入价值+可容纳剩余容量的价值=50，大于其前一行的最大价值10，因此，填充如下：

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
item0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
item1	0	0	0	0	0	10	10	10	10	10	10
item2	0	0	0	0	40	40	40	40	40	50	50
item3	0
item4	0

依次类推，可补充完全如下，注意第3行第9列与第10列，第9列情形和上一行类似，此时有3个物品，但是在背包容量为9时，只能放入物品1（5kg）和物品2（4kg），这就是此时的最优解。但是第10列时，此时背包容量为10，在没有物品3的时候最优解是50，可是此时，最优解是物品2和物品3放入，因为他们的价值大于50，因此第10列为70。

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
item0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
item1	0	0	0	0	0	10	10	10	10	10	10
item2	0	0	0	0	40	40	40	40	40	50	50
item3	0	0	0	0	40	40	40	40	40	50	70
item4	0	0	0	50	50	50	50	90	90	90	90

第4行第10列即我们想要的全局最优解，此时将局部扩大到全部。返回它即得到最优解。

总结一下上面的过程，比较不加入该物品时该重量的最大价值和当前物品的价值+可以容纳的剩余重量的价值，即和其头上的数进行比较，如果小于等于头上的，则上一个最优解就是当前最优解；如果大于头上的，则替换为当前最优解。代码如下：

/**
     * 0-1背包
     * @param val 价值
     * @param weight 重量
     * @param W 背包容量
     * @return 最优解
     */
    public static int knapsack(int[] val, int[] weight, int W) {
        int N = weight.length;   //记录所有的物品数
        int[][] V = new int[N + 1][W + 1];  //创建背包矩阵
        for (int col = 0; col <= W; col++) { //列，背包容量为0
            V[0][col] = 0;
        }
        for (int row = 0; row <= N; row++) {
            V[row][0] = 0;
        }
        for (int item = 1; item <= N; item++) {  //一行一行填充值
            for (int wt = 1; wt <= W; wt++) {  //一列一列填充值
                if (weight[item - 1] <= wt) {  //如果当前物品重量小于等于背包中的当前重量 item为1是，weight[0]是第一个物品的重量
                    //比较不加入该物品时该重量的最大价值（前一行）与当前物品的价值+可以容纳的剩余重量的价值
                    V[item][wt] = Math.max(val[item-1] + V[item-1][wt - weight[item-1]],V[item-1][wt]);
                } else { //如果当前物品重量大于背包中的当前重量
                    V[item][wt]=V[item-1][wt];  //直接使用前一行的最优解
                }
            }
        }
        /*打印矩阵
        for (int[] rows: V) {
            for (int col : rows) {
                System.out.format("%5d",col);
            }
            System.out.println();
        }*/
        return V[N][W];

    }