图信号处理——拉普拉斯矩阵

用 $G(V,E)$ 表示图，$V$ 为图的节点集，$E$ 为图的边集。

用 $A=[a_{ij}]$ 表示图的邻接矩阵。图的拉普拉斯矩阵为：$L=D-A$，其中 $D=[d_{ij}]$，为对角矩阵，对角元满足 $d_{ii}={\sum }_j{a}_{ij}$，即 $A$ 的第$i$行元素之和。

拉普拉斯矩阵有几个重要性质：

• $L\cdot 1=0$，暗示含有特征值 0；
• 对称矩阵，有N个实特征值和特征向量；
• 对于任意图信号$x$，$(Lx{)}_i={\sum }_{j\in N_i}(x_i-x_j)$，即 $Lx$ 的第 $i$ 个元素的含义为节点 $i$ 的信号与其邻居节点的信号的差距之和，因此称其为 variation；
• 对于任意向量 $x\in {\mathbb{R}}^N$，$x^{T}Lx={\sum }_i{x}_i{\sum }_{j\in N_i}(x_i-x_j)={\sum }_i{\sum }_{j\in N_i}{x}_i(x_i-x_j)={\sum }_{i,j}(x_i-x_j{)}^2\ge 0$ 。说明 $L$ 是半正定矩阵。$x^{T}Lx$ 称为 total variation，常作为 Graph Laplacian Regularizer 用于正则化.
• 拉普拉斯矩阵有几种归一化方式：$$\hat{L}=I-D^{-1}A$$或者$$\bar{L}=I-D^{-\frac{1}{2}}A{D}^{-\frac{1}{2}}$$其中 $\hat{L}$ 保证每一行元素之和为 1，$\bar{L}$ 为对称矩阵。

图信号滤波

假设向量 $x\in {\mathbb{R}}^N$ 为原始图信号，其中 $N$ 为图的节点数，我们可以用 $A,W,D,L,L1,L2$ 对原始图信号滤波。
具体来看：$y=Ax$，则 $y_i={\sum }_{j\in N_i}{x}_j$，即新的图信号 $y$ 表示邻居节点的原始信号之和。易得 $D^{-1}A$ 表示所有邻居节点的原始信号的均值。