NOI Online #3 入门组 第三题：买表

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解析

暴力1

首先，我先确定一下暴力是怎么做的。
我在考场上做的暴力是使用DFS所做的，时间复杂度高到要爆。
但是我这个蒟蒻还是用了。
最终得分50。

暴力2

可是我还想AC啊，怎么办呢，那么我就请教了dalao们，他们说：

$$\boxed{\text{我谔谔，你连dp+二进制都做不出来吗？}}$$

原来这道题是dp+二进制的方法，我先想出来了暴力的多重背包，它的时间复杂度是$O(N\times W\times k)$，$W$就是该题中$T_i$的最大值，$k$即为题中的$a_i$。总时间复杂度是$200\times 1000\times 50000=10^{10}$，肯定是爆掉了。

那该怎么办呢？

正解

之前我们把多重背包拆成 $a_i$​ 个 01 背包，我们要优化这种拆分方法。我们的目的是表示 $[1,a_i]$ 的所有数。逐个拆分显然可行，但二进制拆分更优。设 $2^p\le a_i\le 2^{p+1}$，那么我们只需要拆出$2^0,2^1,2^2\dots 2^p,a_i-2^p$ 这些数，也能表示 $[1,a_i]$ 的所有数。那么，之前枚举 $a_i$​ 的循环现在只用枚举 $[1,p]$，p 是 $\log a_i$ 级别的。至此，总复杂度为$O(N\times W\times \log a_i)$，凭借背包优秀的常数，可以AC这道题!

代码

（DFS暴力解法以及暴力多重背包解法就不给了）

正解代码：

（PS：代码中有快读，如过您不知道的话，请看我的blog：C++快读)

#include
using namespace std;
#define LL long long
const int Maxm=500000;
int read() //快读
{
	int x=0,f=1;
	char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch))
	{
		if(ch=='-') f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(isdigit(ch))
	{
		x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);
		ch=getchar();
	}
	return x*f;
}
int n,m;
int dp[500000+5]; //dp
int main()
{
	n=read();
	m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int w=read();
		int k=read();
		for(int j=0;j<10;j++) //拆分过程
		{
			k-=(1<<j);
			if(k>=0)
			{
				int Zhi=w*(1<<j); //不再一个个拆了，只拆成 2 的指数幂个
				for(int j=Maxm;j>=Zhi;j--)
				{
					dp[j]=max(dp[j],dp[j-Zhi]+Zhi);//0-1背包模板
				}
			}else{
				k+=(1<<j);
				break;
			}
		}
		int Zhi=w*k;
		for(int j=Maxm;j>=Zhi;j--)
		{
			dp[j]=max(dp[j],dp[j-Zhi]+Zhi);
		}
		//剩下的还要打个包
	}
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int x=read();
		if(dp[x]==x) puts("Yes");
		else puts("No");
	}
	return 0;
}