面试题系列 （一） 算法

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泰波拿契數 (Tribonacci Number) 即把費波拿契數 (Fibonacci Number) 的概念推廣至三個數。

T ₀ = 0, T ₁ = T ₂ = 1, T _n     = T _n-1 + T _n-2 + T _n-3

请你写一个算法，输入n,输出第n个Tribonacci数mod 2009的结果。

这个题目是众多名企的笔试面试题，据我所知，2009年微软海笔就出了这个题。另外据说google也出国这个题目。这个题目的好，好在于它有很好的区分度。

这个题目有三种解法。你采用什么算法，你的水平就一目了然了。

首先看第一种解法，也是最简单，最容易想到的。
递归法：代码如下：

#include #include #include using namespace std; #define THRESHOLD 2009 #define DEAL(x) ((x) < THRESHOLD ? (x) : (x) % THRESHOLD) int tribonacci_v1(int n) { if (n <= 2) return n == 0 ? 0 : 1; else { int k = tribonacci_v1(n - 1) + tribonacci_v1(n - 2) + tribonacci_v1(n - 3); return DEAL(k); } }

采用递归的方法需要大量的重复计算。
经过测试，在ubuntu + gcc -o + p4 2.4GHz的机器上，100都需要算好久。
如果你采用这种算法的话，毫无疑问。你是不可能PASS笔试的。

算法二：采用递推的方法：
这种方法也很简单，头文件定义的宏已经在上面代码有了，函数代码如下：

int tribonacci_v2(int n) { int res[] = {0,1,1,2}; for (int i = 3;i <= n;i++) { res[3] = res[2] + res[1] + res[0]; res[3] = DEAL(res[3]); res[0] = res[1]; res[1] = res[2]; res[2] = res[3]; } return n <= 2 ? res[n] : res[2]; }

采用递推的算法消除了很多重复计算，其时间复杂度是线性的，只扫描一遍O(n).
经测试，一百万以内的数字可以瞬间得到答案。1千万的话也能在1秒内得到解。但是超过1千万就不行了。
在笔试的时候，由于时间有限，其实能写到这个算法就应该可以勉强过笔试了。

第三种解法，矩阵法：
我们首先对算式做一个预处理：
T_n        = T_n-1 + T_n-2 + T_n-3
T_n+1     = T_n + T_n-1 + Tn-2
              =T_n-1 + T_n-2 + Tn-3 + T_n-1 + Tn-2
             = 2T_n-1 +2T_n-1 + Tn-2
T_n+2     = T_n+1 + T_n + Tn-1
          = 4T_n-1 +3T_n-1 + 2Tn-2
根据上面的变形，我们可以写成矩阵乘法的方式：

[Tn+2,          [ 4 , 3 , 2 ;       [Tn-1,
 Tn+1,     =     2 , 2 , 1;    *   Tn-2,
 Tn]                 1,  1 , 1]        Tn-3];

我们分别令三个矩阵为 C B A，则有  Cn+2 = B * An-1
因此Cn+5 = B * Cn+2 = B * B * An-1
依此类推 Cn + k = B ^ ([（k + 1） / 3]) * An-1    其中[]为向上取整
于是我们成功将模型转化为矩阵连乘了，而矩阵连乘是符合结合律的，因此我们可以二分求解.
算法复杂度转化为O(logn)，具体代码如下：
code写得有点烂，多包涵

void MatrixMul(int res[][3],const int m1[][3],const int m2[][3]) { int tmp[3][3]; memset (tmp, 0, sizeof(tmp)); for (int i = 0;i < 3;i++) { for (int j = 0;j < 3;j++) { for (int k = 0;k < 3;k++) { tmp[i][j] += m1[i][k] * m2[k][j]; } tmp[i][j] = DEAL(tmp[i][j]); } } memcpy(res, tmp, sizeof(int) * 9); } int tribonacci_v3(int n) { if (n <= 2) return n == 0 ? 0 : 1; int matrix[3][3] = { 4 , 3, 2, 2 , 2, 1, 1 , 1, 1}; int res[3][3] = { 1 , 0 , 0, 0 , 1 , 0, 0 , 0 , 1}; int pow = n / 3; int index = 2 - n % 3; while (pow != 0) { if (pow & 1) MatrixMul(res, res, matrix); MatrixMul(matrix,matrix,matrix); pow >>= 1; } return DEAL(res[index][0] + res[index][1]); }

第三种方法是最完美的，但是代码量比较大，而且容易写错。在面试的时候倒是可以拿出来show一把自己的算法功底。