小白谈计算机图形学（一）画线篇之DDA算法,中点画线法,Bresenham画线法及相关改进详解

引言

大家好，众所周知，计算机的图像显示是由一个一个像素组成，正如分子组成了世界，当像素合理分布，同样可以还原很多真实世界的场景。

如何画线

基本思想

已知过端点$p_0(x_0,y_0)$和$p_1(x_1,y_1)$的直线:
$$y=kx+b$$
直观的做法是把每个$x$的值代入直线方程求出相应的$y$值。取像素点$(x,int(y))$作为当前点坐标。光栅直线算法属于图形学最底层的算法，因此要精益求精。

数值微分法（DDA算法）

数值微分基本思路

增量算法变乘法为加法，这里利用斜截式，首先$y_{i+1}=y_i+k\Delta x$，当$\Delta x=1$时:
$$y_{i+1}=y_i+k$$

数值微分改进

• 此处，我们做细节处理，将像素格划分为上半和下半， 用$int(y+0.5)$判断是上方还是下方涂色。
  
• 同时该算法只能画$|k|\le 1$,超过则会出现离散的点，失真。可以采用：
  $$\{\begin{array}{r}{y}_{i+1}=y_i+k(︱k︱＜1，\Delta x=1）\\ \\ x_{i+1}=x_i+\frac{1}{k}(︱k︱＞1，\Delta y=1）\end{array}$$
• 优点：简单直观，迭代的算法
  缺点：浮点运算，每步都需四舍五入取整。

中点画线法

中点画线引言

利用后一中点与前一中点的函数关系，采用了直线的一般式方程：
$$F(x,y)=y-\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}x-b$$
认为$\Delta x>0$,即：
$$F(x,y)=(\Delta x)y-(\Delta y)x-(\Delta x)b$$
直线方程将平面分为三个区域：
$$\{\begin{array}{r}F(x,y)=0(直线上的点)\\ F(x,y)>0(直线上方的点)\\ F(x,y)<0(直线下方的点)\end{array}$$

当$M$在$Q$的下方，则说明$P_u$离直线近，应为下一个像素点；当$M$在$Q$的上方，应取$P_d$ 为下一点。但是…每一个像素的计算量是4个加法，两个乘法。比DDA算法的计算量大多了，毫无可取之处！

中点画线改进

根据上一次计算的$d$值判断接下来$d$值的变化

• 若$d<0$时，则取右上方像素$p_u(x_i+1,y_i+1)$。判断再下一
  像素，则要计算：
  $$\begin{array}{rl}{d}_{new}& =F(x_i+2,y_i+1.5)\\ & =a(x_i+1)+b(y_i+0.5)+c+a\\ & =F(x_i+1,y_i+0.5)+a+b\\ & =d_{old}+a+b\end{array}$$
• 若$d\ge 0$情况，则取正右方像素$(x_i+1,y_i)$, 判断下一个像素位置要计算：
  $$\begin{array}{rl}{d}_{new}& =F(x_i+2,y_i+0.5)\\ & =a(x_i+1)+b(y_i+0.5)+c+a\\ & =F(x_i+1,y_i+0.5)+a\\ & =d_{old}+a\end{array}$$
• 迭代需要初始值$d_0$
  $$\begin{array}{rl}{d}_0& =F(x_0+1,y_0+0.5)\\ & =a(x_0+1)+b(y_0+0.5)+c\\ & =a+0.5b\end{array}$$
• 由于我们只用$d$的符号，所以使用$2d$摆脱小数运算，更新后的公式为：
  $$\{\begin{array}{rl}& d_0=2a+b\\ & d_{new}=d_{old}+2a+2b(d<0)\\ & d_{new}=d_{old}+2a(d\ge 0)\end{array}$$

Bresenham画线法

Bresenham基本思路

采用增量计算，检查误差项的符号，就可以确定该列的所求像素。

• 直线的起始点在像素中心，所以误差项d的初值
  $$\{\begin{array}{rl}& d_0＝0\\ & d_{new}=d_{old}+k\\ & x_{i+1}=x_i+1(右移一格)\\ & y_{i+1}=\{\begin{array}{rlr}& y_i+1,d=d-1& (d\ge 0.5)(上移一格)\\ & & \\ & y_i& (d<0.5)(保持不动)\end{array}\end{array}$$
  

Bresenham画线改进

• 令$e=d-0.5$
  $$\{\begin{array}{rl}& e_0=-0.5\\ & e_{new}=e_{old}+k\\ & x_{i+1}=x_i+1(右移一格)\\ & y_{i+1}=\{\begin{array}{rlr}& y_i+1,e=e-1& (e\ge 0)(上移一格)\\ & & \\ & y_i& (e<0)(保持不动)\end{array}\end{array}$$
• $e\ast 2$将$e_0$变为整数，由于$p_0(x_0,y_0),p_1(x_1,y_1)$皆为整数，故$d\ast \Delta x$即为斜率乘$\Delta x$即为$\Delta y$为整数，故第二步改进令：
  $$e=e\ast 2\ast \Delta x$$
  判断$e$的正负，更新后的公式为：
  $$\{\begin{array}{rl}& e=-\Delta x(初始值)\\ & e_{new}=e_{old}+2\Delta y(初始值)\\ & x_{i+1}=x_i+1(右移一格)\\ & y_{i+1}=\{\begin{array}{rlr}& y_i+1,e=e-2\Delta x& (e\ge 0)(上移一格)\\ & & \\ & y_i& (e<0)(保持不动)\end{array}\end{array}$$

小结

想避免浮点运算，进行整数算法判断像素点位置，就必须判断符号，如中点画线法和Bresenhanm算法，判断大小不能搞成整数加法。
wuli放几张做好的图，大家康康c语言可以画图呀！

超链接

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