n 阶贝塞尔曲线计算公式——Ts实现
文章目录
- 1、什么是贝塞尔曲线
- 2、常见贝塞尔曲线
- 3、贝塞尔曲线通用公式
- 3.1、贝塞尔曲线通用公式
- 3.2、思路解析
- 3.3、实现方法
- 3.4、效果展示
- 3.5、Demo下载
- 4、结束语
1、什么是贝塞尔曲线
Bézier curve(贝塞尔曲线)是应用于二维图形应用程序的数学曲线。 曲线定义：起始点、终止点（也称锚点）、控制点。通过调整控制点，贝塞尔曲线的形状会发生变化。 1962年，法国数学家Pierre Bézier第一个研究了这种矢量绘制曲线的方法，并给出了详细的计算公式，因此按照这样的公式绘制出来的曲线就用他的姓氏来命名，称为贝塞尔曲线。
看了这段话，相信你还是不大明白贝塞尔曲线到底是怎么样的，这里放上贝塞尔曲线扫盲贴，有需要的自行阅读！这里有个贝塞尔游戏，有兴趣的可以体验一下！
2、常见贝塞尔曲线
这里我们放上去常见的贝塞尔曲线效果演示图：
以下公式中：
B(t)为t时间下 点的坐标
P0为起点,Pn为终点,Pi为控制点
- 一阶贝塞尔曲线(线段)：
一阶贝塞尔曲线通用公式：
B ( t ) = ( 1 − t ) P 0 + t P 1 ， t ∈ [ 0 , 1 ] \begin{aligned} B(t)=(1-t)P_0+tP_1， t∈[0,1] \end{aligned} B(t)=(1−t)P0+tP1，t∈[0,1]
意义：由 P0 至 P1 的连续点， 描述的一条线段
- 二阶贝塞尔曲线(抛物线)：
二阶贝塞尔曲线通用公式：
B ( t ) = ( 1 − t ) 2 P 0 + 2 t ( 1 − t ) P 1 + t 2 P 2 ， t ∈ [ 0 , 1 ] \begin{aligned} B(t)=(1-t)^2P_0+2t(1-t)P_1+t^2P_2， t∈[0,1] \end{aligned} B(t)=(1−t)2P0+2t(1−t)P1+t2P2，t∈[0,1]
原理：
由 P0 至 P1 的连续点 Q0，描述一条线段。
由 P1 至 P2 的连续点 Q1，描述一条线段。
由 Q0 至 Q1 的连续点 B(t)，描述一条二次贝塞尔曲线。
经验：P1-P0为曲线在P0处的切线
- 三阶贝塞尔曲线：
三阶贝塞尔曲线通用公式：
B ( t ) = ( 1 − t ) 3 P 0 + 3 t ( 1 − t ) 2 P 1 + 3 t 2 ( 1 − t ) P 2 + t 3 P 3 ， t ∈ [ 0 , 1 ] \begin{aligned} B(t)=(1-t)^3P_0+3t(1-t)^2P_1+3t^2(1-t)P_2+t^3P_3， t∈[0,1] \end{aligned} B(t)=(1−t)3P0+3t(1−t)2P1+3t2(1−t)P2+t3P3，t∈[0,1]
- 四阶贝塞尔曲线：
- 五阶贝塞尔曲线：
3、贝塞尔曲线通用公式
3.1、贝塞尔曲线通用公式
我们查阅资料给出的一般公式是这样的：
B ( t ) = ∑ i = 0 n ( n i ) P i ( 1 − t ) n − i t i = ( n 0 ) P 0 ( 1 − t ) n t 0 + ( n 1 ) P 1 ( 1 − t ) n − 1 t 1 + . . . + ( n n − 1 ) P n − 1 ( 1 − t ) 1 t n − 1 + ( n n ) P n ( 1 − t ) 0 t n ， t ∈ [ 0 , 1 ] \begin{aligned} B(t)=\sum_{i=0}^n \begin{pmatrix} n\\i \end{pmatrix} P_i(1-t)^{n-i}t^i= \begin{pmatrix} n\\0 \end{pmatrix} P_0(1-t)^nt^0+ \begin{pmatrix} n\\1 \end{pmatrix} P_1(1-t)^{n-1}t^1+...+ \begin{pmatrix} n\\n-1 \end{pmatrix} P_{n-1}(1-t)^1t^{n-1}+ \begin{pmatrix} n\\n \end{pmatrix} P_n(1-t)^0t^n， t\in[0,1] \end{aligned} B(t)=i=0∑n(ni)Pi(1−t)n−iti=(n0)P0(1−t)nt0+(n1)P1(1−t)n−1t1+...+(nn−1)Pn−1(1−t)1tn−1+(nn)Pn(1−t)0tn，t∈[0,1]
3.2、思路解析
观察上面公式，可以查看出，其公式是由一个格式固定的表达式之和来表示，这个表达式就是关键：
( n i ) P i ( 1 − t ) n − i t i ， t ∈ [ 0 , 1 ] \begin{aligned} \begin{pmatrix} n\\i \end{pmatrix} P_i(1-t)^{n-i}t^i， t\in[0,1] \end{aligned} (ni)Pi(1−t)n−iti，t∈[0,1]
该表达式可分为四个部分看：
- 从 i 递增到 n 的常数部分
- P i P_i Pi 坐标部分
- ( 1 − t ) n − i (1 - t)^{n - i} (1−t)n−i
- t i t^i ti
可以看出这四部分都与 i 的值相关，此外 t 值的计算方式为：i/(n+1)
如果直接从上面的公式上找规律比较抽象，那就从具体的例子中找规律吧。
设 Bt 为要计算的贝塞尔曲线上的坐标，N 为控制点个数，P0,P1,P2…Pn 为贝塞尔曲线控制点的坐标，当 N 值不同时有如下计算公式:
如 N 为 3 表示贝塞尔曲线的控制点有 3 个点，这时 n 为 2 ，这三个点分别用 P0,P1,P2 表示。
- N = 3 P = ( 1 − t ) 2 P 0 + 2 ( 1 − t ) t P 1 + t 2 P 2 P=(1-t)^2P_0 + 2(1-t)tP_1 + t^2P_2 P=(1−t)2P0+2(1−t)tP1+t2P2
- N = 4 P = ( 1 − t ) 3 P 0 + 3 ( 1 − t ) 2 t P 1 + 3 ( 1 − t ) t 2 P 2 + t 3 P 3 P= (1-t)^3P_0 + 3(1-t)^2tP_1 + 3(1-t)t^2P_2 + t^3P_3 P=(1−t)3P0+3(1−t)2tP1+3(1−t)t2P2+t3P3
- N = 5 P = ( 1 − t ) 4 P 0 + 4 ( 1 − t ) 3 t P 1 + 6 ( 1 − t ) 2 t 2 P 2 + 4 ( 1 − t ) t 3 P 3 + t 4 P 4 P = (1-t)^4P_0 + 4(1-t)^3tP_1 + 6(1-t)^2t^2P_2 + 4(1-t)t^3P_3 + t^4P_4 P=(1−t)4P0+4(1−t)3tP1+6(1−t)2t2P2+4(1−t)t3P3+t4P4
将贝塞尔曲线一般参数公式中的表达式用如下方式表示，设有常数 a,b 和 c，则该表达式可统一表示为如下形式：
a ( 1 − t ) b t c P n , t ∈ [ 0 , 1 ] a(1 - t)^bt^cP_n, t\in[0,1] a(1−t)btcPn,t∈[0,1]
分析当 N 分别为3,4,5 时对应 a,b,c 的值:
如 N = 3 时，公式有三个表达式，第一个表达式为 ( 1 − t ) 2 P 0 (1-t)^2P_0 (1−t)2P0，其对应 a,b,c 值分别为：1,2,0
- N = 3: 1,2,0 2,1,1 1,0,2
a: 1 2 1
b: 2 1 0
c: 0 1 2- N = 4: 1,3,0 3,2,1 3,1,2 1,0,3
a: 1 3 3 1
b: 3 2 1 0
c: 0 1 2 3- N = 5: 1,4,0 4,3,1 6,2,2 4,1,3 1,0,4
a: 1 4 6 4 1
b: 4 3 2 1 0
c: 0 1 2 3 4
根据上面的分析就可以总结出 a,b,c 对应的取值规则：
- b: (N - 1) 递减到 0 (b 为 1-t 的幂)
- c: 0 递增到 (N - 1) (c 为 t 的幂)
- a: 在 N 分别为 1,2,3,4,5 时将其值用如下形式表示：
N=1:———1
N=2:——–1 1
N=3:——1 2 1
N=4:—–1 3 3 1
N=5:—1 4 6 4 1
a 值的改变规则为： 杨辉三角
3.3、实现方法
好了，到这里我们基本上已经知道思路了，下面我们使用Ts写一下：
这里使用的是：
Vscode
Cocos Creator
/**
*
* @param ctrlPosArr 贝塞尔曲线控制点坐标
* @param precison 精度，需要计算的该条贝塞尔曲线上的点的数目
* @param resArr 该条贝塞尔曲线上的点（二维坐标）
*/
getBezierPos(ctrlPosArr:Array,precison:number):Array
{
cc.log(ctrlPosArr)
let resArr:Array = new Array();
/**贝塞尔曲线控制点数目（阶数）*/
let number:number = ctrlPosArr.length;
if(number < 2)
{
cc.log("控制点数不能小于 2");
return resArr;
}
/**杨辉三角数据 */
let yangHuiArr:Array = this.getYangHuiTriangle(number);
//计算坐标
for (let i = 0; i < precison; i++) {
let t:number = i/precison;
let tmpX:number = 0;
let tmpY:number = 0;
for (let j = 0; j < number; j++) {
tmpX += Math.pow(1 - t,number - j - 1) * ctrlPosArr[j].x * Math.pow(t,j) * yangHuiArr[j];
tmpY += Math.pow(1 - t,number - j - 1) * ctrlPosArr[j].y * Math.pow(t,j) * yangHuiArr[j];
}
// resArr[i].x = tmpX;
// resArr[i].y = tmpY;
resArr[i] = new cc.Vec2(tmpX,tmpY);
}
return resArr;
}
/**
* 获取杨辉三角对应阶数的值
* @param num 杨辉三角阶数
*/
getYangHuiTriangle(num:number):Array
{
//计算杨辉三角
let yangHuiArr = new Array();
if(num === 1)
{
yangHuiArr[0] = 1;
}
else
{
yangHuiArr[0] = yangHuiArr[1] = 1;
for (let i = 3; i <= num; i++)
{
let t = new Array();
for (let j = 0; j < i - 1; j++)
{
t[j] = yangHuiArr[j];
}
yangHuiArr[0] = yangHuiArr[i - 1] = 1;
for (let j = 0; j < i - 2; j++)
{
yangHuiArr[j + 1] = t[j] + t[j + 1];
}
}
}
cc.log(yangHuiArr);
return yangHuiArr;
}
3.4、效果展示
下面我取几个点，做一下演示：
let p1:cc.Vec2 = cc.v2(0,0);
let p2:cc.Vec2 = cc.v2(200,200);
let p3:cc.Vec2 = cc.v2(400,150);
let p4:cc.Vec2 = cc.v2(500,200);
this.drawPoint(p1);
this.drawPoint(p2);
this.drawPoint(p3);
this.drawPoint(p4);
this.drawLine(p1,p2,cc.Color.GREEN);
this.drawLine(p2,p3,cc.Color.GREEN);
this.drawLine(p3,p4,cc.Color.GREEN);
let posArr1:Array = [
cc.v2(-150,80)
,cc.v2(1,80)
,cc.v2(48,92)
,cc.v2(167,159)
,cc.v2(309,271)
,cc.v2(421,394)
,cc.v2(514,498)
,cc.v2(597,572)
,cc.v2(658,590)
,cc.v2(745,550)
,cc.v2(802,465),
cc.v2(841,320)
,cc.v2(866,266)
,cc.v2(951,163)
,cc.v2(1054,133)
,cc.v2(1228,126)
,cc.v2(1278,128)
,cc.v2(1430,128)
]
为了验证正确性，我这里先用ts自带的贝塞尔曲线公式，通过四个点来画出三阶贝塞尔曲线，再用自己的点来画一遍，然后用自己的代码来画n阶贝塞尔曲线。效果如下：
3.5、Demo下载
为了方便大家，当然如果有不明白的童鞋也可以在这里点此下载Demo示例！
4、结束语
The End
好了，今天的分享就到这里，如有不足之处，还望大家及时指正，随时欢迎探讨交流！！！
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