数据结构树和森林

知识要点：

树的结构和主要概念，各种二叉树的结构及其特点；

二叉树的三种遍历方法的实现原理和性质，能将二叉树的遍历方法应用于求解二叉树的叶子结点个数、二叉树计数等问题，遍历的非递归实现方法；

线索化二叉树的结构和基本操作；（充分利用二叉树的空链域）

森林的定义和存储结构，森林的遍历等方法的实现；（遍历方式与二叉树一致）

基于霍夫曼树生成霍夫曼编码的方法；

最优二叉树（霍夫曼树）的构造原理和相关算法。

AVL树的定义和特点以及AVL树调整操作的实现原理；（平衡二叉树的创建与调整）

1、树

树的定义：含有n个结点的有限集合；n=0时二叉树为空树；

1）在非空二叉树 中有且只有一个被称为根的结点；

2）其余结点可以分为多个互不相交的集合，每个集合本身又是一棵树；

特点：除了根结点之外，每个结点都有前驱结点，树中所有结点可以有0个或多个后继结点。

对于含有n个结点的树，其有n-1条边；

树的相关定义（了解）：

祖先结点：沿着某一路径到达结点K，K之前的所有结点都为其祖先结点；

子孙结点：从K点沿着某一路径向下，K之后的所有结点都为其子孙结点；

双亲结点：在K结点上侧，且直接与K相互关联的结点，称为K的双亲结点；

孩子结点：在K结点下侧，且直接与K相互关联的结点，称为K的孩子结点；

兄弟结点：位于同一层次上，且双亲结点相同的结点之间互为兄弟结点；

结点的度：该结点所具有的分支数；（由此结点发出的边的条数）

树的度：树中结点度的最大值；

分支结点：度非0的结点，所具有的分支数就是该结点的度；

叶子结点（终端结点）：度为0的结点；

结点的层次：根结点位于第一层，由上往下层次数依次加一；

树的高度（深度）：结点的最大层次数；

有序树和无序树：不区分子树的先后顺序为无序树（子树可以相互交换位置），反之称为有序树；

路径和路径长度：两个结点之间的路径即结点之间所经过的分支，分支的数目称为路径长度；

森林：多颗互不相交的树的集合；

性质：树中的结点数等于所有结点的度数加1（含有n个结点的树边数为n-1）

           树中有n-1条边，所有结点的度数为n-1  ->此树中含有n个结点

           m叉树中中第i层最多有m^(i-1)个结点；

           第一层1个，第二程m个，第三层m^2个，数学归纳法得出第i层最多有m^(i-1)个

           树高为h的m叉树最多有(m^h-1)/(m-1)个结点；

           1+m+m^2+.....+m^(h-1) 等比数列求和

           含有n个结点的m叉树的最小高度为  logm[n(m-1)+1]上取整；

           让每一层都达到最大结点数，所形成的树高度最小；

           (m^h-1)/(m-1)>=n且(m^(h-1)-1)/(m-1)

           logm[n(m-1)+1]<=h

二叉树的定义：（递归定义且为有序树子树之间不能相互变化）

要么为空树，要么满足以下定义：

1）有且只有一个被称为根的结点；

2）除了根结点之外，其余结点又分为两个互不相交的集合，每个集合又满足二叉树的定义（左右子树）；

性质：叶子节点的个数等于度为2的结点个数+1（即  N0=N2+1）

N0+N1+N2=N；

N1+2N2=N-1；联立两式得出N0=N2+1；

          含有n个结点的二叉树必有n+1个空指针域（可以用于二叉树的线索化）；

N2=N0-1；N0+N1+N2=n；得出N1+2N0=n+1；（N0提供两个空指针域，N1提供一个空指针域）

两种特殊的二叉树：（完全二叉树和满二叉树）

满二叉树：每一层的结点数都达到最大值（即深度为k的二叉树结点数目为2^k-1，每i层结点为2^(i-1)）

完全二叉树：对二叉树从根开始由右到左依次标号，与满二叉树对应的标号一致则称之为完全二叉树；

                      特点：叶子结点只会出现在层次最大的两层上；

                      性质：含有n个结点的完全二叉树的深度为，k=(log2[n])(下取整)+1；

                                 完全二叉树中要么无度为1的结点，要么有且只有一个度为1的结点，而且此结点一定无右孩子；

完全二叉树由上至下，由左往右对结点进行依次编号（i=1时为根结点）

                       1）当i>1时，其双亲结点的值为（i/2）

                       2）2*i<=N时，其左孩子编号为2i，否则无左孩子

                       3）2*i+1<=N时,其左孩子编号为2*i,右孩子编号为2*i+1，否则无右孩子；

二叉树的四种遍历方式（先序、中序、后序、层次）

先序遍历：根->左->右；中序遍历：左->根->右；中序遍历：左->右->根；层次遍历：由上到下，由左到右；

已知中序和其他的任意一种遍历方式既可以唯一确定一颗二叉树；

二叉树的前三种遍历方式满足递归定义，通过递归可以实现（借助栈结构），层次遍历需要借助队列实现；

二叉树的存取方式（顺序存储、链式存储）：顺序存取需要开辟一连续内存空间，会有空间上的浪费；对于链式存取

设立左右指针域，标明左右子树关系；

线索二叉树（充分利用空指针域来表明遍历的前驱和后继）方便直接找到遍历前驱与后继，加快查找速度

ltag

lchild

data

rchild

rtag

根据遍历的顺序确定当前结点的前驱和后继；（左前驱，右后继）

ltag=0时，表示该结点有左孩子，左指针域指向左孩子结点；

ltag=1时，表示该结点无左孩子，左指针域指向此结点的前驱结点；

rtag=0时，表示该结点有右孩子，右指针域指向右孩子结点；

rtag=1时，表示该结点无右孩子，左指针域指向此结点的后继结点；

总结：0表示该结点有对应的孩子，1表示该结点指针域为NULL，指向其前驱和后继；

树的表示方法：双亲表示法、孩子表示法、孩子兄弟法（左孩子右兄弟）根结点的右指针域为NULL；

☆☆☆树与森林的转化：
任何一颗和树对应的二叉树其根结点的右子树必定为空NULL。（左孩子，右兄弟）
（森林和二叉树可以相互转化）
森林转化成二叉树：
F={T1，T2，....}为一森林集合
如果F为NULL，则次此二叉树为空树;
如果F不为空，二叉树的根即为集合中T1的根，二叉树的左子树是T1根结点的子树森林中转化而成的二叉树，
二叉树的右子树为原集合中剩余部分所转化成的二叉树。
1、将所有树先转化成二叉树；
2、后一个二叉树作为前一个二叉树的右孩子，第一个二叉树为根。
树转化成二叉树：
1、连接具有相同双亲的兄弟结点
2、除了第一个孩子结点之外，删除剩余兄弟结点与双亲的连线。
3、剩余部分即为生成的二叉树。

二叉树转化成树：
1、加线：若某结点的左孩子结点存在，则将这个左孩子的右孩子结点、右孩子的右孩子结点、右孩子的右孩子的右孩子结点…，
都作为结点的孩子。将结点与这些右孩子结点用线连接起来。
2、去线：删除原二叉树中所有结点与其右孩子结点的连线。
3、层次调整。

二叉树转化成森林：
B={root,LB,RB}
如果二叉树为空：则森林为空
如果二叉树不为空，则森林中第一颗树的根为二叉树的根root,T1中根结点的子树森林F1是由二叉树左子树LB转化
而成的森林；F中除了T1之外的其余树组成的森林F'={T2,T3,...}是由二叉树B的右子树转化而来的。

1、断开从根结点沿着右下角路径上的所有连线。
2、将生成的二叉树变成森林即可。

树、二叉树、森林转化的总结：

1、树转化为二叉树：连接所有的兄弟结点，去除除了第一个结点之外的其他与父节点的连线，

以根为轴心顺时针旋转45度；

（二叉树转化为树与之相反）

2、森林转化为二叉树：将森林中的每一颗树转化成二叉树。

连接新生成二叉树的每一个根结点（第一颗树的根结点为生成二叉树的树根，有指针域指向第二颗子树，依次类推）；

以根为旋转轴顺时针旋转45度；

3、二叉树转化为森林：断开从根结点开始一直向右下方的所有连线，生成多颗二叉子树，

将每颗二叉子树转化成树即可构成森林；

树、森林、二叉树的遍历之间的关系：

树和森林的遍历与二叉树遍历的对应关系

树	森林	二叉树
先根遍历	先序遍历	先序遍历
后根遍历	中序遍历	中序遍历

哈夫曼树（哈夫曼编码）：左零右一，哈夫曼编码为最优前缀编码，叶子结点保存数据

前缀编码：任何一个编码都不是另一个编码的前缀则此编码称为前缀编码；

哈夫曼树为带权路径长度最小的树，其树形并不唯一，但所求权值一定相同；

☆☆☆哈夫曼树的构造：（左0右1）

1）有N个结点各自为根形成一个集合(森林)

2）从集合中选取最小的两个值作为叶子结点，生成一颗新树，此树根结点的权值为叶子结点的权值之和；

如果权值相同，优先选用高度最小的；将原树结点删除，将新生成的树加入集合(森林)中；

3）重复2步骤直到森林中只有一颗树，该树就为哈夫曼树；

二叉排序树（BST）：要么为一颗空树，要么满足一下定义（递归定义）

                                    1）左子树非空，则左子树中任意结点的值小于根节点的值；

                                    2）右子树非空，则右子树中任意结点的值大于根结点的值；

                                    3）左右子树又满足一颗二叉排序树的定义；

特点：中序遍历得到的是一个有序序列。对于二叉排序树的查找最优时间复杂度为O(log2n)，最坏为单支树的情况O(n)；

所以二叉排序树的查找效率与树形（高）有关；若本身插入的构造数据有序，则此二叉排序树为单支树；

二叉排序树的删除：1）如果是叶子结点则直接删除；（不影响二叉排序树的性质）

                                 2）如果为非叶子结点且只有一颗左或右子树，则直接让子树的根结点代替原删除结点即可；

                                 3）如果为非叶子结点且有左右子树，则让子树中的子女位置填充删除结点的位置；

                                       比如右子树中最左侧的结点或者左子树中最右侧的结点；

平衡二叉树：

定义：要么为空树，要么满足一下定义；

每个结点的左右子树的深度之差（平衡因子）的绝对值不超过1；（平衡因子只能是-1,0,1）

☆☆☆重点：对于平衡二叉树的调整：（左逆右顺，负负得正）

LL型：在A结点左子树根结点的左子树插入结点，导致A结点平衡因子由1变2

           进行一次顺时针旋转；将原根结点的左孩子作为新生成树的根结点，将左孩子的右子树作为原树根结点的左孩子。

RR型：在A结点右子树根结点的右子树插入结点，导致A结点平衡因子由-1变-2

           进行一次逆时针旋转；将原根结点的右孩子作为新生成树的根结点，将右孩子的左子树作为原树根结点的右孩子。

LR型：在A结点左子树根结点的右子树插入结点，导致A结点平衡因子由1变2

           先逆时针旋转一次，后顺时针旋转一次；

           将新插入的部分作为此插入结点父节点的右孩子，逆时针旋转一次，将此结点作为此子树的根结点，将其原父节点作为此            结点的左孩子，再将此结点的右孩子作为原树根结点的左孩子，顺时针旋转一次，将此结点作为整个树的根结点，将原根            结点作为新生成树的右孩子。

RL型：在A结点右子树根结点的左子树插入结点，导致A结点平衡因子由-1变-2

           先顺时针旋转一次，后逆时针旋转一次；

          将新插入的部分作为此插入结点父节点的左孩子，顺时针旋转一次，将此结点作为此子树的根结点，将其原父节点作为此              结点的右孩子，再将此结点的左孩子作为原树根结点的右孩子，逆时针旋转一次，将此结点作为整颗树的根结点，将原根            结点作为新生成树的左孩子。

高度为h的平衡二叉树结点的最小值问题：N1=1、N2=2、N3=4、N4=7

                                                                   递推公式Nh=Nh-1+Nh-2+1；(前两项的值的和加1)