数论 初等数论 北师大 张秀平 自学 学习 经验 视频 信息 奥赛 NOIP

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数论 初等数论 北师大 张秀平 自学 学习 经验 视频 信息 奥赛 NOIP

初等数论 全60讲 北京师范大学 视频教程

http://i.youku.com/i/UMTM5NzYwNDEy/videos?spm=a2hzp.8253869.0.0&order=1&page=1&last_item=&last_pn=2&last_vid=39648346有全部视频。2018-6-1

偶然进书店，就想着看看 初等数论 的教材，凭借着对视频的熟悉，竟然找到了视频的配套教材(甚是高兴)，如下：2018-9-19 18:45

下面不是配套教材，看起来真叫个累。2018-9-19 18:34

本人教材选用如下（因教材早于视频，很早就已经购买）：

P8 定理1 全部证毕，核心就是用公式b=aq带入证明 2018-6-12

P9 例4中 (b-c)|b^j-c^j花了好长时间才证好，核心是构造等比数列：

a^n-b^n=(a-b)*(整数) 构造等比数列 xn=x^n-1;即x1=1,x2=x,x3=x^2,...,xn=x^n-1;求和sn=1*(1-x^n)/1-x

即x^n-1=(1-x)*sn,即x^n-1^n=(x-1)*sn;令x=a/b，带入x，即(a/b)^n-1^n=(a/b-1)*(1+a/b+(a/b)^2+...+(a/b)^n-1)

同乘以b^n，可得a^n-b^n=(a-b)*(b^n-1+a*b^(n-2)+a*b^(n-3)+...+a)显然右边是整数，(a-b)|(a^n-b^n)得证。2018-6-12

惊奇的发现，同余是整除的延伸。2018-6-13

体会：看了视频什么都懂，再看书，又什么都不懂，再看视频，再看书，再演算，才算弄懂。视频与书很多内容布局顺序不同，很多证明不同，建议读者求同存异，掌握自己需要掌握，能掌握的部分即可，做到这点，对于自学者已经很不容易的，数学博大精深，深入理解，掌握，需加以时日，切忌快餐式学习，过目即忘。2018-5-20 10:25

深入学习必须建立在系统学习的基础上，这是一个难以跨越的鸿沟。2018-6-9 15:50

第1讲内容：整除，带余除法（有具体的数值运算，讲得不错，这讲终归简单，建议，带上纸笔，边看边算）2018-5-17

开始-04:26 整除的概念。2019-3-3 20:50

04:35-05:18 b|0

05:19-05:45 1|a

05:46-09:10 b|a <=> b||a|需分类讨论，讲解有卡顿。建议分成a>=0,a<0进行讨论，即可。证明如下

推导 b|a => b||a|  a=bq,若a>=0,|a|=bq,若a<0,|a|=b(-q);推导 b|a <= b||a|  |a|=bq,若a>=0,a=bq,若a<0,a=b(-q).

09:19-10:47 定理1(传递性)

10:53-11:26 若a!=0 则 a|a

11:38-15:11 a与|a|的所有约数相同

15:12-16:50 b|a <=> -b|a 故讨论因数时，通常只讨论正因数

16:57-18:37 定理2

18:45-20:20 b|a => b|as s是整数

20:21-23:00 定理3      2019-3-3 21:28

23:25-25:16 定理4 带余除法 简介

25:17-30:37 具体数 用 带余除法 表示。26:07-28:04 勘误，a=-16,b=5,   -16=5*(-4)+4  视频中29:52才发现这个错误

30:44-31:35 再举一例，具体数 用 带余除法 表示。

31:36-32:38 总结 具体数字，如何用 带余除法 表示。

32:48-36:50 证明 带余除法公式 存在性，即 证明 公式存在。

36:51-40:40 证明 带余除法公式 唯一性

40:43-结束 带余除法 推广，即b<0的情况下的带余除法。2019-3-4

http://new-play.tudou.com/v/574598777.html?spm=a2h28.8313475.play-container.5%212%7E5%7E5%213%7E5%7E5%212%7E5%7E5%7EA&f=50513641

第2讲内容(辗转相除法证明(32:20开始)视频看了2遍，第2遍学习，转化为自己的能力了。)：约数，最大公约数，辗转相除法证明(32:20开始)，这次看懂证明了，豁然开朗。2018-5-18

辗转相除法 为何能求公约数，没有问题了，为什么求的是公约数中的最大值，突然冒出的疑问。2018-6-19 20:59

再次从视频32:20开始看起，上面的疑问解决了，当然，在看视频之前，已经动手证明了一遍，辗转相除法为什么求的是最大公约数，证明如下：

(1)a=bq+r

(a,b)=(b,r) d1=(a,b),d2=(b,r),要证明d1=d2,只需证明d1<=d2与d1>=d2即可。

d1|a,d1|b,r=a-bq=>d1|r,推出d1是b,r的公约数,故d1<=d2，因d2是b,r的最大公约数;

d2|b,d2|r,a=bq+r=>d2|a,推出d2是a,b的公约数,故d2<=d1，因d1是a,b的最大公约数;

故d1=d2得证(a,b)=(b,r).

(2)(a,b)=(b,r)=...=(an,0)=an因(an,0),an的最大约数是an,0的最大约数可以是无限大，综合an与0的约数,可知an与0的最大公约数是an,综合上述(1)、(2)可知，辗转相除法可求最大公约数，多年疑问，今朝解决，很是开心。2018-6-21 11:47

开始-02:43 最大公因数定义

02:48-04:54 如何证明某数是最大公因数

04:55-05:50 证明某数是最大公因数的另外一种形式

05:52-08:51 证明上述两种形式等价。2019-3-4 21:23

09:01-10:33 以公式的形式说明，证明 某数是最大公因数  的两种形式。

10:34-12:02 介绍互质，两两互质概念。

12:03-14:49 互质，两两互质之间的关系。对(6,10,15)印象深刻，3个数互质，但两两不互质。

14:55-15:41 探讨公因数是否存在

15:42-16:28 探讨 最大公因数 是否存在。印象深刻，(0,0) 无 最大公因数

16:29-21:04 不全为0的整数，存在 最大公因数 的证明。a1!=0,则，a1的约数是有限个，这个证明印象深刻。

21:06-22:48 定理1介绍

22:50-24:59 定理1(i)证明

25:00-25:48 定理1(ii)证明

26:02-27:12 定理2简介

27:16-29:34 定理2证明

29:35-32:20 推论2.1

32:21-35:55 定理3简介

36:16-38:09 定理3证明的基本思路。印象深刻，证明d1=d2,只需证明d1<=d2,d1>=d2或者d1|d2,d2|d1.

38:10-42:35 定理3的具体证明。2019-3-5

42:36-结束 引出 辗转相除法。

http://new-play.tudou.com/v/574598775.html?f=40030709

第3讲内容：辗转相除法 b=0证明,辗转相除法演算示例,辗转相除法一些推论 2018-5-18

开始-02:18 最大公因数的一种求法，及其证明。(a,b)=(a-b,b) 大减小

02:19-03:12 上述最大公因数求法，引出了带余除法。

03:13-05:40 介绍辗转相除法，即欧几里得除法

05:41-07:59 定理4 证明

08:18-09:00 推论4.1介绍

09:02-14:38 用定理4来求最大公因数。例1讲解，讲了两种办法，一是直接用辗转相除法，二是竖式自右向左用辗转相除法的办法。

14:44-19:15 例2讲解，讲了两种办法，一是直接用辗转相除法，二是竖式自右向左用辗转相除法的办法。

19:38-21:28 最大公因数的性质，定理5介绍。

21:35-26:53 定理5(i)的辗转相除法证明。

26:58-33:35 定理5(i)的另一种证法，讲解有明显卡顿，核心在于 需用到 互质及质因数分解。d1=(am,bm),d2=(a,b),证明d1=d2,即证d1>=d2,d1<=d2.

33:36-33:45 总结上述两种证明方法。

33:47-36:58  定理5(ii)的另一种证明.核心，尽量不用分数运算，要用整数运算。

37:03-38:30 (a,b)=d的用处，分解出质因数。

38:31-40:47 定理6简介

40:48-44:52 定理6证明，试了试dn|d很快证明完毕，但d|dn卡住了，还是看视频解决了。

44:54-结束 (4,6,8)的最大公因数 求法。

http://new-play.tudou.com/v/574598776.html

第4讲内容：一次不定方程探讨(感觉，一开始就对一个比较复杂公式进行证明，之后用该公式来探讨一次不定方程，对初学者是个极大的挑战，个人认为，这种讲法不妥，应该有更好的讲法，第一遍停下来，只对几个结论性的知识点有印象，对证明过程，全无感觉，从开始，一直讲到31:00，初学者，能不打瞌睡，真的很厉害)。2018-5-20 16:37 一次不定方程 证明 最大公约数理论。2018-5-23

开始-02:10 回忆了辗转相除法

02:15-04:00 定理1简介

04:01-05:13 定理1 k=1证明

05:15-07:42 定理1 k=2证明

07:45-13:09 定理1 k+1证明

13:17-13:45 对Pk,Qk进行说明。

13:48-14:34 推论1.1简介。

14:38-16:26 推论1.1证明。

16:30-18:48 推论1.1逆命题，不正确。

18:49-25:12 证明as+bt=d,d>0,若d|(a,b),则d=(a,b).

25:17-27:17 探讨a|b,a,b大小关系。

27:20-28:04 说明as+bt=d,d<0,若d|(a,b),则|d|=(a,b).

28:07-28:29 总结了推论1.1及其逆命题。

28:30-29:18 介绍(a,b)=1,存在s,t,使得as+bt=1.

29:19-30:45 (a,b)=1,存在s,t,使得as+bt=1 证明。并说明(a,b)=d,as+bt=d成立，但as+bt=d,不能说明(a,b)=d.

31:06-32:46 定理2简介。

32:47-36:36 定理2(i)证明

36:37-37:09  定理2(ii)证明

37:19-37:53 推论2.1简介

37:55-40:12 推论2.1证明，提供了2种证明方法

40:13-40:26 再次对 推论2.1 进行说明

40:29-41:51 推论2.2简介

42:03-结束 推论2.2证明 2019-3-7 22:46

http://v.youku.com/v_show/id_XNTQ1MDM0MDY0.html

第5讲内容：最小公倍数 数论课应该怎么上，重在证明，还是重在应用。若能从应用出发，让读者接纳，之后问为什么，再开始证明，这种讲授方式，还是比较受笔者欢迎。2018-5-30

http://v.youku.com/v_show/id_XNTQ1MDMwOTYw.html?from=y1.2-1-87.4.1-1.1-1-2-0-0%26source%3Dautoclick

第6讲内容：质数 算术基本定理

http://v.youku.com/v_show/id_XNTk0NjE3MTcy.html

第7讲内容：（埃拉托色尼筛选法）Eratosthenes筛法  质数有无穷多个 费马数 梅森数

http://v.youku.com/v_show/id_XNTQ1MDM4MzMy.html

第8讲内容(该节视频，已看2遍，2018-6-18 19:44)：高斯符号 n!的素因数分解（发现计算机能派上用场，比较适合计算较大数据，而且在约分过程中，不易溢出）

翻了一遍书，发现 定理 证明 还是有些含糊，今日再翻起，感叹 数学 对应项是相同的，这一点很重要，困扰已久的P65 定理1 (ii)(iii)总算弄懂了，一切从定义出发。[x+m]<=x+m<[x+m]+1,由(iii)前提得[x]<=x<[x]+1,即[x]+m<=x<[x]+m+1，根据对应项相同，[x+m]=[x]+m.2018-6-17 18:03

对于文中P70 定理2 心存疑虑，还是要再看一遍视频，22:25开始讲解。2018-6-17 18:04 两种方法都看懂了，方法2好理解，容易想到，方法1较难想到和理解，不过，视频中，“p的指数是r的有nr个”这句还是有助于理解的，即对应的指数为r*nr。2018-6-18 20:22

带着问题看视频，感觉真不一样，不再是被动接受，还有自己主动的思考，遇到问题时，思考清楚，再进一步的往下看，感觉真不错。2018-6-18 7:41

http://v.youku.com/v_show/id_XMTYyODk3Mzg4.html

第9讲内容：n!的素因数分解 组合数是整数的证明及应用(17:50开始--28:00结束,证明过程看了2遍 2018-6-21 20:31) 2018-6-6

证明如下：

n/p^j=(n-k)/p^j+k/p^j=[(n-k)/p^j]+{(n-k)/p^j}+[k/p^j]+{k/p^j}

故[n/p^j]=[[(n-k)/p^j]+{(n-k)/p^j}+[k/p^j]+{k/p^j}]=[(n-k)/p^j]+[k/p^j]+[{(n-k)/p^j}+{k/p^j}]>=[(n-k)/p^j]+[k/p^j]

组合数是整数的证明 关键部分 如上 2018-6-21 20:31

http://v.youku.com/v_show/id_XMTYyODk3NDQw.html?spm=a2hzp.8253869.0.0

第10讲内容：二元一次不定方程

发现 证明通解过程，数学老师与计算机老师 写法竟然不同。

(a,b)互质，存在整数s,t,使得as+bt=1  如何证明，卡住了。2018-6-6

http://v.youku.com/v_show/id_XNTQ1MDQ3NzI4.html

http://v.youku.com/v_show/id_XMTYyODk3NTI4.html?spm=a2hzp.8253869.0.0

第11讲内容：二元一次不定方程 (a,b)=1 ax+by=1 一组特解的求法 因出发点是某一比较复杂公式，难以看懂，视频中的解法，只能搁置。

特解通过 扩展欧几里德算法 弄懂了，程序如下：

//7x+4y=1
//输入：7 4
//输出: d=1 x=-1 y=2
#include
int exgcd(int a,int b,int *x,int *y){
    int t,d;
    if(b==0){
        *y=0;
        *x=1;
        return a;
    }
    d=exgcd(b,a%b,x,y);
    t=*x,*x=*y,*y=t-a/b**y;
    return d;
}
int main(){
    int a,b,x,y,d;
    scanf("%d%d",&a,&b);
    d=exgcd(a,b,&x,&y);
    printf("d=%d x=%d y=%d\n",d,x,y);
    return 0;
}

2018-6-6

44分开始讲错了，还好46:50发现并纠正了。2018-6-7

http://v.youku.com/v_show/id_XNTQ1MDQ4Njg4.html

第12讲内容：二元一次不定方程 另一种解法 从开始到19分钟，进行讲解，感觉有些象扩展欧几里德算法，但又不是，大家可用上面的代码进行求解，与视频中的特解还是不同的。 进一步改进，略微听懂一些。一直在举具体实例，这样的上课思路相当好，该扎实掌握的地方，就要多多举例。2018-6-7 

http://v.youku.com/v_show/id_XMTYyODk3Nzc2.html?spm=a2hzp.8253869.0.0

第13讲内容：多元一次不定方程 有整数解的充要条件 证明，证明到视频时间戳13:40，没太看懂。多元一次不定方程 通解求法 ，视频时间戳20:00，具体实例，三元一次，展示求解过程时间戳30:40，在看视频之前，尝试求了一遍，竟然对了。接下来四元一次，本人做了一遍，之后，发现视频中无详解，但还是有收获的。无论是几元，本人算特解的过程都采用扩展欧几里德算法。2018-6-7

http://v.youku.com/v_show/id_XMTYyODk3ODMy.html?spm=a2hzp.8253869.0.0

第14讲内容：多元一次不定方程 四元一次，求解，两种解法。100元这道题，不等式运用还是挺有技巧的。时间戳36:35开始 勾股数 介绍2018-6-7

http://v.youku.com/v_show/id_XMTYyODk3OTI4.html?spm=a2h0j.11185381.listitem_page1.5!14~A&&f=4255650

https://v.youku.com/v_show/id_XNTQ1MDU4MjY0.html

第15讲内容：勾股数 解的形式 证明。发现 设计勾股数挺方便的，便于自己设计一些数据出些题目。

x=2ab,y=a^2-b^2,z=a^2+b^2

2018-6-8 9:59

https://v.youku.com/v_show/id_XNTQ1MDYwNzU2.html?spm=a2h0j.11185381.listitem_page1.5!15~A&&f=19182691

第16讲内容：同余 回避求商，得出余数 感觉很神奇，要好好看视频。同余的一些性质 其中一个证明过程 还用到了 二项式定理 。整除的一些性质在该节还是有用的。2016-6-8

https://v.youku.com/v_show/id_XNTQ1MDYzNDc2.html?spm=a2h0j.11185381.listitem_page1.5!16~A&&f=19182691

第17讲内容：同余 一些性质。庚 的两条性质成功证明，很是高兴，之后看视频，发现证法完全一致。需用到整除的一些性质。 辗转相除法。第一次看到 能被3整除的数字，是各个位置数字之和能被3整除，完整的证明，终于可以证明了，以前一直很疑惑，哪个地缝里钻出来的。弃九法介绍，如醍醐灌顶。在想，能被11整除的数的特性应该也能证明，之后视频马上出现了，真是想什么来什么，之后出现了被7,11,13整除的数的特性，收获颇丰，7*11*13=1001，进一步想到被7整除这个特性，可以用来设计判断星期几，真是太棒了。学到目前为止，该讲收获最多，还是那句，水到渠成。2016-6-8

https://v.youku.com/v_show/id_XNTQ1MDY4MjU2.html?spm=a2h0j.11185381.listitem_page1.5!17~A

第18讲内容：剩余类和完全剩余系。定理2，在视频中提出反证法时，本人试着推了一遍，与之后视频的表述完全吻合，很是高兴。2016-6-9

https://v.youku.com/v_show/id_XNTQ1MDY4NjM2.html?from=y1.2-1-87.4.1-1.1-1-2-0-0%26source%3Dautoclick

第19讲内容：简化剩余系与欧拉函数

a=nq+r=>(a,n)=(n,r)证明详见 第2讲内容 (辗转相除法证明(32:20开始))http://new-play.tudou.com/v/574598775.html?f=40030709 2018-6-21 11:58

光看视频不看书，是远远不够的，建议看书与看视频要相互结合。2018-6-21 12:11

(a,b)=1,(a,c)=1=>(a,bc)=1证明。2018-6-9 23:20

https://v.youku.com/v_show/id_XNTQ1MDczMDA0.html?spm=a2h0j.11185381.listitem_page1.5!19~A&&f=19182691

第20讲内容：缩系的一些性质 欧拉函数的一些公式

对(m,n)=1,欧拉函数f(mn)=f(m)*f(n)的证明还是不解。(m,n)=d 对应 欧拉函数公式还需研究，第二遍看时，勉强看懂了。2018-6-10

https://v.youku.com/v_show/id_XMTYyODk4NjU2.html?spm=a2hzp.8253869.0.0

第21讲内容：欧拉函数的应用 欧拉定理 费马定理。2018-6-10

开始-01:05 介绍本讲内容。2018-9-9 21:30

01:07-07:30 欧拉定理及其证明。用到了缩系及其性质，同余中的乘法，除法。2018-9-9 21:38

根据欧拉定理 证明 费马定理，一次性成功，看来学习该系列视频之前，所学的知识还是具有潜移默化的作用。没想到实际的费马定理，对p是质数，还是合数，同样适用。2018-6-10 21:09

正整数a，a^5与a的个位数相同，思路：枚举，发现规律，之后再开始证明，不过该证明，费马定理用起来，确实费劲。2018-6-10 21:22 发现 整除 互质 最大公约数 质数 就是 初等数论中最核心的内容。2018-6-10 22:37

(m,n)=d 对应 欧拉函数公式 另一种证明思路。2018-6-10 23:07

https://v.youku.com/v_show/id_XNTQ1MDgxMTQ4.html?spm=a2h0j.11185381.listitem_page1.5!21~A&&f=19182691

第22讲内容：纯循环小数 条件 证明。

(a,b)=1<=>as+bt=1是充要条件，心存疑虑，还是要弄明白。35:00开始的q的写法，没弄明白。2018-6-11 22:06

a/b,0(b,10)=1;没弄明白，还需再看视频。2018-6-18 20:55

https://v.youku.com/v_show/id_XNTQ1MDgxNzY4.html?spm=a2h0j.11185381.listitem_page1.5!22~A&&f=19182691

第23讲内容：混循环小数 条件 证明。

对11:00开始的b1=1的讨论，心存疑虑，感觉答非所问。仔细想想，又没有问题了。2018-6-18 21:11

混循环小数 证明 能听懂，但独立证明还有困难。2018-6-18 21:30

后半段听得浑浑噩噩，数学真严格啊，考虑到的各种疑惑，都需要证明。不过，这两节内容对全局无影响。想到的时候再来学习吧，结论是记住了。2018-6-18 21:40

https://v.youku.com/v_show/id_XNTQ1MDgyNTEy.html?spm=a2h0j.11185381.listitem_page1.5!23~A&&f=19182691

第24讲内容：同余式

该讲内容与 一次不定方程 息息相关。2018-6-19 20:41

该讲内容需要用到比较多的同余性质，定理。2018-6-19 20:58

 

特解通过 扩展欧几里德算法 弄懂了，程序如下：2018-6-19 21:13

//11s+25t=1
//输入：11 25
//输出: d=1 x=-9 y=4
#include
int exgcd(int a,int b,int *x,int *y){
    int t,d;
    if(b==0){
        *y=0;
        *x=1;
        return a;
    }
    d=exgcd(b,a%b,x,y);
    t=*x,*x=*y,*y=t-a/b**y;
    return d;
}
int main(){
    int a,b,x,y,d;
    scanf("%d%d",&a,&b);
    d=exgcd(a,b,&x,&y);
    printf("d=%d x=%d y=%d\n",d,x,y);
    return 0;
}

https://v.youku.com/v_show/id_XNTQ1MDkwNDA4.html?spm=a2h0j.11185381.listitem_page1.5!24~A&&f=19182691

第25讲内容：孙子定理(中国剩余定理)2018-6-21 20:44

建议学到4:10，之后的内容即是 孙子定理 如何运算，还未上升到理论高度，并且相当的烦琐，建议完全可以跳过。2018-6-21 22:39

https://v.youku.com/v_show/id_XNTQ1MDkwODU2.html?spm=a2h0j.11185381.listitem_page1.5!25~A&&f=19182691

第26讲内容：孙子定理

没有遇到逆元概念，没有由来，只有应用，该节内容与想要看到的内容差距巨大。看来 第25讲内容 第26讲内容（建议33:20开始观看） 均需要看书了。2018-6-29 16:33

https://v.youku.com/v_show/id_XNTQ1MDk0OTY4.html?spm=a2h0j.11185381.listitem_page1.5!26~A&&f=19182691

第27讲内容：高次同余式的解数与解法

https://v.youku.com/v_show/id_XNTQ1MDk4MzA4.html?spm=a2h0j.11185381.listitem_page1.5!27~A&&f=19182691

第28讲内容：高次同余式的解数与解法

https://v.youku.com/v_show/id_XNTQ1MTAyNzMy.html?spm=a2h0j.11185381.listitem_page1.5!28~A&&f=19182691

第29讲内容：高次同余式的解数与解法

https://v.youku.com/v_show/id_XNTQ1MTA0MzU2.html?spm=a2h0j.11185381.listitem_page1.5!29~A&&f=19182691

第30讲内容：高次同余式的解数与解法

https://v.youku.com/v_show/id_XNTQ1MTA0MjMy.html?spm=a2h0j.11185381.listitem_page1.5!30~A&&f=19182691

第31讲内容：高次同余式的解数与解法

https://v.youku.com/v_show/id_XNTQ1MTE2NzM2.html?spm=a2h0j.11185381.listitem_page1.5!31~A&&f=19182691

第32讲内容：高次同余式的解数与解法

https://v.youku.com/v_show/id_XNTQ1MTI0OTg4.html?spm=a2h0j.11185381.listitem_page1.5!32~A&&f=19182691

第33讲内容：高次同余式的解数与解法

https://v.youku.com/v_show/id_XNTQ1MTIxMTQ4.html?spm=a2h0j.11185381.listitem_page1.5!33~A&&f=19182691

第34讲内容：单质数模的平方剩余与非平方剩余

https://v.youku.com/v_show/id_XNTQ1MTI0OTEy.html?spm=a2h0j.11185381.listitem_page1.5!34~A&&f=19182691

第35讲内容：单质数模的平方剩余与非平方剩余

https://v.youku.com/v_show/id_XNTQ1MTI4MTEy.html?spm=a2h0j.11185381.listitem_page1.5!35~A&&f=19182691

 

第36讲内容：单质数模的平方剩余与非平方剩余

https://v.youku.com/v_show/id_XNTQ1MjE4MzIw.html?spm=a2h0j.11185381.listitem_page1.5!36~A&&f=19182691

第37讲内容：Legendre符号

https://v.youku.com/v_show/id_XNTQ1MjE4MzA0.html?spm=a2h0j.11185381.listitem_page1.5!37~A&&f=19182691

第38讲内容：Legendre符号

https://v.youku.com/v_show/id_XNTQ1MjE4MzQw.html?spm=a2h0j.11185381.listitem_page1.5!38~A&&f=19182691

第39讲内容：Legendre符号

https://v.youku.com/v_show/id_XNTQ1MjI3ODI4.html?spm=a2h0j.11185381.listitem_page1.5!39~A&&f=19182691

第40讲内容：Jacobi符号

https://v.youku.com/v_show/id_XNTQ1MjI2MzQw.html?spm=a2h0j.11185381.listitem_page1.5!40~A&&f=19182691

第41讲内容：比较 Legendre符号 Jacobi符号

https://v.youku.com/v_show/id_XNTQ1MjI0NzY4.html?spm=a2h0j.11185381.listitem_page1.5!41~A&&f=19182691

第42讲内容：合数模的情形

https://v.youku.com/v_show/id_XNTQ1MjQzOTA0.html?spm=a2h0j.11185381.listitem_page1.5!42~A&&f=19182691

第43讲内容：合数模的情形

https://v.youku.com/v_show/id_XNTQ1MjMyMTQw.html?spm=a2h0j.11185381.listitem_page1.5!43~A&&f=19182691

第44讲内容：合数模的情形

https://v.youku.com/v_show/id_XNTQ1MjM2NjYw.html?spm=a2h0j.11185381.listitem_page1.5!44~A&&f=19182691

第45讲内容：合数模的情形

https://v.youku.com/v_show/id_XNTQ1MjM2OTQ4.html?spm=a2h0j.11185381.listitem_page1.5!45~A&&f=19182691

第46讲内容：原根与指数

https://v.youku.com/v_show/id_XNTQ1MjM4NzY4.html?spm=a2h0j.11185381.listitem_page1.5!46~A&&f=19182691

第47讲内容：原根与指数

 

第48讲内容：原根存在的条件

https://v.youku.com/v_show/id_XNTQ1MjQzOTUy.html?spm=a2h0j.11185381.listitem_page1.5!48~A&&f=19182691

第49讲内容：原根与指数

 

第50讲内容：原根与指数

https://v.youku.com/v_show/id_XNTQ1MjUyNjQ4.html?spm=a2h0j.11185381.listitem_page1.5!50~A&&f=19182691

第51讲内容：原根与指数

https://v.youku.com/v_show/id_XNTQ1MjUxMjU2.html?spm=a2h0j.11185381.listitem_page1.5!51~A&&f=19182691

第52讲内容：原根与指数

https://v.youku.com/v_show/id_XNTQ1MjUyNDY4.html?spm=a2h0j.11185381.listitem_page1.5!52~A&&f=19182691

第53讲内容：指标与n次剩余

https://v.youku.com/v_show/id_XNTQ1MjU4MDYw.html?spm=a2h0j.11185381.listitem_page1.5!53~A&&f=19182691

第54讲内容：原根与指标

https://v.youku.com/v_show/id_XNTQ1MjU4MTE2.html?spm=a2h0j.11185381.listitem_page1.5!54~A&&f=19182691

第55讲内容：n次同余式的解

https://v.youku.com/v_show/id_XNTQ1MjU5MTMy.html?spm=a2h0j.11185381.listitem_page1.5!55~A&&f=19182691

第56讲内容：原根与指标

https://v.youku.com/v_show/id_XNTQ1MjY2MDg4.html?spm=a2h0j.11185381.listitem_page1.5!56~A&&f=19182691

第57讲内容：初等数论最后一节课

https://v.youku.com/v_show/id_XNTQ1MjY5MTI4.html?spm=a2h0j.11185381.listitem_page1.5!57~A&&f=19182691

第58讲内容：复习一

https://v.youku.com/v_show/id_XNTQ1MjY2NDQw.html?spm=a2h0j.11185381.listitem_page1.5!58~A&&f=19182691

第59讲内容：复习二

https://v.youku.com/v_show/id_XNTQ1MjcxNjE2.html?spm=a2h0j.11185381.listitem_page1.5!59~A&&f=19182691

第60讲内容：复习三

https://v.youku.com/v_show/id_XNTQ1MjcxMjQ0.html?spm=a2h0j.11185381.listitem_page1.5!60~A&&f=19182691