连续系统离散化的方法
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5.2.1 连续系统离散化方法
1、反向差分变换法
对于给定的 （5.1）
其微分方程为 ，用反向差分代替微分，得
（5.2）
对（5.2）式两边取Z变换得： ，即
（5.3）
比较式（5.1）与式（5.3）可知，将式（5.1）中的s直接用
（5.4）
代入即可，即
（5.5）
另外，还可将 作级数展开
（5.6）
取一阶近似 ，也可得到
（5.7）
平面的稳定域可以通过式（5.4）映射到 平面。因为 平面的稳定域为 ，参考式（5.4），可以写出 平面的稳定域为：
为正数，将 写成 ，上式可以写成
即
上式可以写成
由上式可以看出， 平面的稳定域映射到 平面上以 ， 为圆心， 为半径的圆内，如图5-3所示。
图5-3 反向差分变换s平面与z平面的对应关系
反向差分变换方法的主要特点如下：
①变换计算简单；
②由图5-3看出， 平面的左半平面映射到 平面的单位圆内部一个小圆内，因而，如果 稳定，则变换后的 也是稳定的；
③离散滤波器的过程特性及频率特性同原连续滤波器比较有一定的失真，需要较小的采样周期 。
2、正向差分变换法
对于给定的 （5.8）
其微分方程为 ，用正向差分代替微分，即
两边取Z变换得： ，即
（5.9）
比较式（5.8）与式（5.9）可知，对 进行正向差分变换时，将其中的s直接用
（5.10）
代入即可，即
（5.11）
另外还可将 级数展开 ：
取一阶近似 ，也可得到：
使用正向差分方法时，有个严重问题是， 平面的左半平面映射到 平面的单位圆外。因为 平面的稳定域为 ，参考式（5.10），可以写出 平面的稳定域为：
令 ，则上式可以写成
因为 ，则有 即 ，如图5-4所示。
图5-4 正向差分变换s平面与z平面的对应关系
由此，得出正向差分法变换的特点： 平面左半平面的极点可能映射到 平面单位圆外。因而，用这种方法所得到的离散滤波器可能是不稳定的，实际应用中基本上不采用这种方法。
3、双线性变换法
双线性变换法又称突斯汀（Tustin）法，是一种基于梯形积分规则的数字积分变换方法。
由Z变换定义 ，将 改写为如下形式：
（5.12）
然后将分子和分母同时展成泰勒级数，取前两项，得：
（5.13）
由上式计算出 ，得双线性变换公式。
（5.14）
另外，由图5-5所示的梯形面积近似积分可得
（5.15）
其中 为到 时刻的阴影总面积。对式（5.15）进行Z变换，并整理得到
（5.16）
图5-5梯形面积近似积分
由式（5.16），也可得双线性变换： （5.17）
还可以将式（5.14）看作采用双线性变换时由s平面到z平面的映射。应当注意到，双线性变换使 的极、零点数目相同，且离散滤波器的阶数（即离散滤波器的极点数）与原连续滤波器的阶数相同。
由式 （5.14），s平面的左半平面 映射到z平面时，其关系如下：
因为T>0，上面的不等式可以简化为
即：
这相应于z平面单位圆内部，如图5-6所示。因此，双线性变换将s平面上整个左半平面映射到z平面上以原点为圆心的单位圆内部（这是z平面上的稳定区）。这和 映射是一样的，但是离散滤波器的过渡响应及频率响应特性有显著的不同。
图5-6 双线性变换s平面与z平面的对应关系
双线性变换的主要特点是：
①如果D(s)稳定，则相应的D(z)也稳定；D(s)不稳定，则相应的D(z)也不稳定。
②所得D(z)的频率响应在低频段与D(s)的频率响应相近，而在高频段相对于D(s)的频率响应有严重畸变。
例5.1 用双线性变换法将模拟积分控制器 离散化为数字积分控制器。
解 由式（5.14），得数字控制器的脉冲传递函数为
上式可以写成
由上式可以得出相应的差分方程
式中， 分别为kT时刻D(z)的输出量和输入量。
以下为采用双线性法将 离散化的MATLAB程序（设T=1s）：
>> num=1;
>> den=[1,0];
>> [dnum,dden]=c2dm(num,den,1,'tustin');
>> printsys(dnum,dden,'z')
num/den =
0.5 z + 0.5
-----------
z – 1
其中num为连续系统分子的系数；den为连续系统分母的系数；c2dm是MATLAB函数，将连续传递函数转换为离散传递函数；tustin表示采用双线性方法；dnum和dden分别为转换后传递函数的分子和分母的系数。
上述双线性变换，将s平面的虚轴变换到Z平面的单位圆，因而没有混叠现象。但是在模拟频率 和离散频率 之间是非线性的对应关系。
设 ， ，代入 得到
（5.18）
于是
（5.19）
上式表明了模拟频率 和离散频率 之间的非线性关系。当 取值 时， 的值为 。这意味着，模拟滤波器的全部频率响应特性被压缩到离散滤波器的 的频率范围内。这两种频率之间的非线性特性，使得由双线性变换所得的离散频率响应产生畸变。这种缺点可以通过预畸变的办法来补偿。
补偿的基本思想是：在 变换成 之前，将 的断点频率预先加以修正（预畸变），使得修正后的 变换成 时正好达到所要求的断点频率。
预畸双线性变换的特点为：
（1） 将S平面左半平面映射到Z平面单位圆内。
（2） 稳定的 变换成稳定的 。
（3） 没有混叠现象。
（4） 不能保持 的脉冲响应和频率响应。
（5） 所得的离散频率响应不产生畸变。
4、脉冲响应不变法
所谓脉冲响应不变法就是将连续滤波器 离散得到离散滤波器 后，它的脉冲响应 与连续滤波器的脉冲响应 在各采样时刻的值是相等的。即
因此，脉冲响应不变保持了脉冲响应的形状
（5.20）
因而，上面给出的连续滤波器 ，采用脉冲响应不变法所得到的离散滤波器 即 的z变换。所以，脉冲响应不变法也称Z变换法。
Z变换法的特点是：
① 和 有相同的单位脉冲响应序列；
②若 稳定，则 也稳定；
③ 存在着频率失真；
④该法特别适用于频率特性为锐截止型的连续滤波器的离散化。
它主要应用于连续控制器 具有部分分式结构或能较容易地分解为并联结构，以及 具有陡衰减特性，且为有限带宽的场合。这时采样频率足够高，可减少频率混叠影响，从而保证 的频率特性接近原连续控制器 。
5、阶跃响应不变法
所谓阶跃响应不变法就是将连续滤波器 离散后得到的离散滤波器 ，保证其阶跃响应与原连续滤波器的阶跃响应在各采样时刻的值是相等的。
用阶跃响应不变法离散后得到的离散滤波器 ，则有
式中 表示 的阶跃响应，而 表示 的阶跃响应。取上式的Z变换，得到
即
上式可以写成如下形式
（5.21）
这个方程的右边可以看作 前面加了一个采样器和零阶保持器。因而，可以假设一个连续信号和一个假想的采样--保持装置，如图5-7所示。
图5-7 带假想的采样－保持器的
必须指出，这里的采样保持器是一个虚拟的数字模型，而不是实际硬件。由于这种方法加入了零阶保持器，对变换所得的离散滤波器会带来相移，当采样频率较低时，应进行补偿。零阶保持器的加入，虽然保持了阶跃响应和稳态增益不变的特性，但未从根本上改变Z变换的性质。
阶跃响应不变法的特点如下：
①若 稳定，则相应的 也稳定；
② 和 的阶跃响应序列相同；
6、零、极点匹配Z变换法
所谓零、极点匹配Z变换法，就是按照一定的规则把 的零点映射到离散滤波器 的零点，把 的极点映射到 的极点。极点的变换同Z变换相同，零点的变换添加了新的规则。设连续传递函数 的分母和分子分别为 阶和阶 ，称 有 个有限零点， 个 的无限零点，如：
其有限零点为 ，还有两个 的无限值零点。
零极点匹配Z变换的规则是：
（1） 所有的极点和所有的有限值零点均按照 变换，
（5.22）
（2） 所有的在 处的零点变换成在 处的零点。
（3）如需要 的脉冲响应具有一单位延迟，则 分子的零点数应比分母的极点数少1。
（4）要保证变换前后的增益不变，还需进行增益匹配。
低频增益匹配：
（5.23）
高频增益匹配：
（5.24）
实际系统中， 的分母阶数常常比分子阶数高，如不采用规则（2），那么 的脉冲响应会产生 个采样时间的延迟，对系统造成不利影响，引入规则（2）后， 的分母和分子的阶数就相同了。
例5.2 求 的零、极点匹配Z变换。
解：按规则（2），
由式（5.23）有：
解得
于是：
根据规则（3），
有
以下是求 的零、极点匹配Z变换的MATLAB程序，仍然取T=1， =1：
>> num=1;
>>den=[1,1];
>>ts=1;
>> [dnum,dden]=c2dm(num,den,ts,'matched');
>>printsys(dnum,dden,'z')
num/den =
0.63212
-----------
z - 0.36788
注意到用函数c2dm求零、极点匹配Z变换时，是采用低增益匹配的。
例5.3 求 的零、极点匹配Z变换。
解
按高频增益匹配
于是
7、各种离散化方法小结:
表5.1给出了连续传递函数 ，在各种离散化方法变换后得到的等效的脉冲传递函数及相应的变换方程。
表5.1 用各种变换方法得到的等效
| 变换方法 |
变换方程 |
等效的脉冲传递函数 |
| 反向差分变换法 |
||
| 正向差分变换法 |
||
| 双线性变换法 |
||
| 脉冲响应不变法 |
||
| 阶跃响应不变法 |
||
| 零、极点匹配Z变换法 |
|
以上研究了6种已知连续滤波器求等效离散滤器的方法，其中正向差分法产生不稳定离散滤波器，实际上基本不用。一般情况下，由连续到离散的设计最好多实验几种方法（通过仿真，得出满意的结果）。因为匹配零、极点映射法、双线性变换法都能得出比较满意的结果，初步设计时，可以试用这些方法。