【剑指offer】面试题40：最小的 k 个数

题目：输入n个整数，找出其中最小的 k 个数。例如输入 4, 5, 1, 6, 2, 7, 3, 8 这 8 个数字，则最小的 4 个数字是1, 2, 3, 4。

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这道题最简单的思路莫过于把输入的 n 个整数排序，排序之后位于最前面的 k 个数就是最小的 k 个数。这种思路的时间复杂度是O(nlogn），面试官会提示我们还有更快的算法。

解法一：时间复杂度为 O(nlogk) 的算法，特别适合处理海量数据。

我们可以先创建一个大小为 k 的数据容器来存储最小的 k 个数字，接下来我们每次从输入的n个整数中读入一个数。如果容器中已有数字少于k个，则直接把这次读入的整数放入容器中；如果容器中已有k个数字了，也就是容器已满，此时我们不能再插入新的数字了而只能替换已有的数字。找出这已有的 k 个数中的最大值，然后拿这次待插入的整数和最大值进行比较。如果待插入的值比当前已有的最小值小，则用这个数替换当前已有的最大值；如果待插入的值比当前已有的最大值还大，那么这个数不可能是最小的 k 个整数之一，于是我们可以抛弃这个整数。

因此当容器满了之后，我们要做3件事：

一是：在k个整数中找到最大数；

二是：有可能在这个容器中删除最大数；

三是：有可能要插入一个新的数字。

如果用一个二叉树来实现这个容器，那么我们能在O(logk）时间内实现这三步操作。因此对于n个输入的数字而言，总的时间效率是O(nlogk).

我们可以选择用不同的二叉树来实现这个数据容器。由于每次都需要找到 k 个整数中的最大数字，我们很容易想到用最大堆。在最大堆中，根节点的值总是大于它的子树中的任意结点的值。于是我们每次可以在O(1）得到已有的 k 个数字中的最大值，但需要 O(logk) 时间完成删除及插入操作。

package com.zju.offer.arrays;

import java.util.ArrayList;
import java.util.Comparator;
import java.util.PriorityQueue;

/**
 * 输入n个整数，找出其中最小的K个数。
 * 例如输入4,5,1,6,2,7,3,8这8个数字，则最小的4个数字是1,2,3,4。
 */
public class FindMinKNum {

	public ArrayList getLeastNumbers(int[] input, int k){
		// 将结果result封装到ArrayList集合中
		ArrayList result = new ArrayList();
		int len = input.length;
		if(k > len || k == 0){
			return result;
		}
		
		// 用优先级队列来实现最大堆：最大堆在堆顶元素是堆中最大值，k为堆的大小
		PriorityQueue maxHeap = new PriorityQueue(k, new Comparator(){

			@Override
			public int compare(Integer o1, Integer o2) {
				return o2.compareTo(o1);
			}
		});

		for (int i = 0; i < len; i++) {
			if(maxHeap.size() != k){
				// 如果堆中的元素小于k，则直接将当前元素插入
				maxHeap.offer(input[i]);
			}else if(maxHeap.peek() > input[i]){
				// 当堆中元素的个数等于k && 堆顶元素大于输入的元素值时
				// 将堆顶元素删除，将新输入的元素插入
				Integer temp = maxHeap.poll();
				temp = null;   // 释放资源
				maxHeap.offer(input[i]);
			}
		}
		
		// 将最大堆中的k个元素加入到result结果集合中
		for(Integer integer : maxHeap){
			result.add(integer);
		}
		return result;
	}
}

虽然这种方法要比第二种慢一点，但是有两个明显的优点：

1、没有修改输入数据的顺序；

2、适合海量数据的输入。假设题目是从海量数据中查找出最小的 k 个数字，由于内存的大小是有限的，有可能不能把这些海量数据一次性全部载入内存。这个时候，我们可以从辅助空间（比如：硬盘）中每次读入一个数字，再判断是否要放入到容器中。

解法二：时间复杂度为O(n)的算法，只有当我们可以修改输入的数组时可用

我们同样可以基于 Partition 函数来解决这个问题。如果基于数组的第 k 个数字来调整，使得比第 k 个数字小的所有数字都位于数组的左边，比第 k 个数字大的所有数字都位于数组的右边。这样调整之后，位于数组中左边的 k 个数字就是最小的 k 个数字。

package com.zju.offer.arrays;

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;

/**
 * 输入n个整数，找出其中最小的K个数。
 * 例如输入4,5,1,6,2,7,3,8这8个数字，则最小的4个数字是1,2,3,4。
 */
public class FindMinKNum_Method2 {

	public ArrayList getLeastNumbers(int[] input, int k){
		ArrayList result = new ArrayList();

		if(input.length == 0 || k == 0 || k > input.length){
			return result;
		}
		
		int start = 0;
		int end = input.length - 1;
		int index = partition(input, start, end);
		while(index != k - 1){
			if(index > k -1){
				end = index - 1;
				index = partition(input, start, end);
			}else{
				start = index + 1;
				index = partition(input, start, end);
			}
		}
		
		for (int i = 0; i < k; i++) {
			result.add(input[i]);
		}
		return result;
	}

	private int partition(int[] arr, int left, int right) {
		int result = arr[left];
		if(left > right){
			return 0;
		}
		
		while(left < right){
			while(left < right && arr[right] >= result){
				right--;
			}
			arr[left] = arr[right];
			
			while(left < right && arr[left] < result){
				left++;
			}
			arr[right] = arr[left];
		}
		arr[left] = result;
		return result;
	}
	
	// 测试
	public static void main(String[] args) {
		
		FindMinKNum_Method2 fk = new FindMinKNum_Method2();
		int[] arr = {4,5,1,6,7,3,8};
		ArrayList result = fk.getLeastNumbers(arr, 10);
		System.out.println(Arrays.toString(result.toArray()));
	}
}

可以看到我们可以在很多地方都能用到：partition函数，其时间复杂度为O(n)的算法得到数组中任意第 k 大的数字。