最短路径问题

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火星十一郎-张朋飞

   海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚。QQ：791909235，Tel:13137910179... 
   为什么我的眼中常含泪水，因为我有一个算法不会...

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随笔- 988  文章- 0  评论- 876 

彻底弄懂最短路径问题

        只想说：温故而知新，可以为师矣。我大二的《数据结构》是由申老师讲的，那时候不怎么明白，估计太理论化了(ps：或许是因为我睡觉了)；今天把老王的2011年课件又看了一遍，给大二的孩子们又讲了一遍，随手谷歌了N多资料，算是彻底搞懂了最短路径问题。请读者尽情享用……

        我坚信：没有不好的学生，只有垃圾的教育。不过没有人理所当然的对你好，所以要学会感恩。

一.问题引入

        问题：从某顶点出发，沿图的边到达另一顶点所经过的路径中，各边上权值之和最小的一条路径——最短路径。解决最短路的问题有以下算法，Dijkstra算法，Bellman-Ford算法，Floyd算法和SPFA算法，另外还有著名的启发式搜索算法A*，不过A*准备单独出一篇，其中Floyd算法可以求解任意两点间的最短路径的长度。笔者认为任意一个最短路算法都是基于这样一个事实：从任意节点A到任意节点B的最短路径不外乎2种可能，1是直接从A到B，2是从A经过若干个节点到B。

二.Dijkstra算法

        该算法在《数据结构》课本里是以贪心的形式讲解的，不过在《运筹学》教材里被编排在动态规划章节，建议读者两篇都看看。

           

        观察右边表格发现除最后一个节点外其他均已经求出最短路径。

        (1)   迪杰斯特拉(Dijkstra)算法按路径长度(看下面表格的最后一行，就是next点)递增次序产生最短路径。先把V分成两组：

• S：已求出最短路径的顶点的集合
• V-S=T：尚未确定最短路径的顶点集合

        将T中顶点按最短路径递增的次序加入到S中，依据：可以证明V0到T中顶点Vk的最短路径，或是从V0到Vk的直接路径的权值或是从V0经S中顶点到Vk的路径权值之和（反证法可证，说实话，真不明白哦）。

        (2)   求最短路径步骤

1. 初使时令 S={V0},T={其余顶点}，T中顶点对应的距离值， 若存在，为弧上的权值（和ＳＰＦＡ初始化方式不同），若不存在，为Inf。
2. 从T中选取一个其距离值为最小的顶点W(贪心体现在此处)，加入S(注意不是直接从S集合中选取，理解这个对于理解vis数组的作用至关重要)，对T中顶点的距离值进行修改：若加进W作中间顶点，从V0到Vi的距离值比不加W的路径要短，则修改此距离值（上面两个并列for循环，使用最小点更新）。
3. 重复上述步骤，直到S中包含所有顶点，即S=V为止（说明最外层是除起点外的遍历）。

        下面是上图的求解过程，按列来看，第一列是初始化过程，最后一行是每次求得的next点。

           

        (3)   问题：Dijkstar能否处理负权边？（来自《图论》）

             答案是不能，这与贪心选择性质有关(ps：貌似还是动态规划啊，晕了)，每次都找一个距源点最近的点（dmin），然后将该距离定为这个点到源点的最短路径；但如果存在负权边，那就有可能先通过并不是距源点最近的一个次优点（dmin'），再通过这个负权边L(L<0)，使得路径之和更小（dmin'+L 0，3，4 
3，0，-2 
4，-2，0,用dijkstra求得d[1，2]=3，事实上d[1，2]=2，就是通过了1-3-2使得路径减小。不知道讲得清楚不清楚。

二.Floyd算法

        参考了南阳理工牛帅(目前在新浪)的博客。

        Floyd算法的基本思想如下：从任意节点A到任意节点B的最短路径不外乎2种可能，1是直接从A到B，2是从A经过若干个节点到B，所以，我们假设dist(AB)为节点A到节点B的最短路径的距离，对于每一个节点K，我们检查dist(AK) + dist(KB) < dist(AB)是否成立，如果成立，证明从A到K再到B的路径比A直接到B的路径短，我们便设置 dist(AB) = dist(AK) + dist(KB)，这样一来，当我们遍历完所有节点K，dist(AB)中记录的便是A到B的最短路径的距离。

        很简单吧，代码看起来可能像下面这样：

for (int i=0; i 
            
  for (int j=0; j 
            
    for (int k=0; k 
            
      if (dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j] ) {
 
            
        dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];
 
            
      }
 
            
    }
 
            
  }
 
            
}
 
            
        但是这里我们要注意循环的嵌套顺序，如果把检查所有节点K放在最内层，那么结果将是不正确的，为什么呢？因为这样便过早的把i到j的最短路径确定下来了，而当后面存在更短的路径时，已经不再会更新了。
 
            
        让我们来看一个例子，看下图：
 
            
 
            
        图中红色的数字代表边的权重。如果我们在最内层检查所有节点K，那么对于A->B，我们只能发现一条路径，就是A->B，路径距离为9，而这显然是不正确的，真实的最短路径是A->D->C->B，路径距离为6。造成错误的原因就是我们把检查所有节点K放在最内层，造成过早的把A到B的最短路径确定下来了，当确定A->B的最短路径时dist(AC)尚未被计算。所以，我们需要改写循环顺序，如下：
 
            
        ps：个人觉得，这和银行家算法判断安全状态(每种资源去测试所有线程)，树状数组更新(更新所有相关项)一样的思想。
 
            
for (int k=0; k 
            
  for (int i=0; i 
            
    for (int j=0; j 
            
            /*
 
            
            实际中为防止溢出，往往需要选判断 dist[i][k]和dist[k][j
 
            
            都不是Inf ，只要一个是Inf，那么就肯定不必更新。 
 
            
            */
 
            
      if (dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j] ) {
 
            
        dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];
 
            
      }
 
            
    }
 
            
  }
 
            
}
 
            
        如果还是看不懂，那就用草稿纸模拟一遍，之后你就会豁然开朗。半个小时足矣（早知道的话会节省很多个半小时了。。）
 
            
       再来看路径保存问题：
 
            
void floyd() {
 
            
      for(int i=1; i<=n ; i++){
 
            
        for(int j=1; j<= n; j++){
 
            
          if(map[i][j]==Inf){
 
            
               path[i][j] = -1;//表示  i -> j 不通 
 
            
          }else{
 
            
               path[i][j] = i;// 表示 i -> j 前驱为 i
 
            
          }
 
            
        }
 
            
      }
 
            
      for(int k=1; k<=n; k++) {
 
            
        for(int i=1; i<=n; i++) {
 
            
          for(int j=1; j<=n; j++) {
 
            
            if(!(dist[i][k]==Inf||dist[k][j]==Inf)&&dist[i][j] > dist[i][k] + dist[k][j]) {
 
            
              dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];
 
            
              path[i][k] = i;
 
            
              path[i][j] = path[k][j];
 
            
            }
 
            
          }
 
            
        }
 
            
      }
 
            
    }
 
            
    void printPath(int from, int to) {
 
            
        /*
 
            
         * 这是倒序输出，若想正序可放入栈中，然后输出。
 
            
         * 
 
            
         * 这样的输出为什么正确呢？个人认为用到了最优子结构性质，
 
            
         * 即最短路径的子路径仍然是最短路径
 
            
         */
 
            
        while(path[from][to]!=from) {
 
            
            System.out.print(path[from][to] +"");
 
            
            to = path[from][to];
 
            
        }
 
            
    }
 
            
        《数据结构》课本上的那种方式我现在还是不想看，看着不舒服……
 
           

        Floyd算法另一种理解DP，为理论爱好者准备的，上面这个形式的算法其实是Floyd算法的精简版，而真正的Floyd算法是一种基于DP(Dynamic Programming)的最短路径算法。设图G中n 个顶点的编号为1到n。令c [i, j, k]表示从i 到j 的最短路径的长度，其中k 表示该路径中的最大顶点，也就是说c[i,j,k]这条最短路径所通过的中间顶点最大不超过k。因此，如果G中包含边，则c[i, j, 0] =边 的长度；若i= j ，则c[i,j,0]=0；如果G中不包含边，则c (i, j, 0)= +∞。c[i, j, n] 则是从i 到j 的最短路径的长度。对于任意的k>0，通过分析可以得到：中间顶点不超过k 的i 到j 的最短路径有两种可能：该路径含或不含中间顶点k。若不含，则该路径长度应为c[i, j, k-1]，否则长度为 c[i, k, k-1] +c [k, j, k-1]。c[i, j, k]可取两者中的最小值。状态转移方程：c[i, j, k]=min{c[i, j, k-1], c [i, k, k-1]+c [k, j, k-1]}，k＞0。这样，问题便具有了最优子结构性质，可以用动态规划方法来求解。

        看另一个DP(直接引用王老师课件)

                       

 

        说了这么多，相信读者已经跃跃欲试了，咱们看一道例题，以ZOJ 1092为例：给你一组国家和国家间的部分货币汇率兑换表，问你是否存在一种方式，从一种货币出发，经过一系列的货币兑换，最后返回该货币时大于出发时的数值(ps：这就是所谓的投机倒把吧)，下面是一组输入。 
3    //国家数 
USDollar  //国家名 
BritishPound 
FrenchFranc 
   3    //货币兑换数 
USDollar 0.5 BritishPound  //部分货币汇率兑换表 
BritishPound 10.0 FrenchFranc 
FrenchFranc 0.21 USDollar

        月赛做的题，不过当时用的思路是求强连通分量(ps：明明说的，那时我和华杰感觉好有道理)，也没做出来，现在知道了直接floyd算法就ok了。

        思路分析：输入的时候可以采用Map map = new HashMap()主要是为了获得再次包含汇率输入时候的下标以建图(感觉自己写的好拗口)，或者第一次直接存入String数组str，再次输入的时候每次遍历str数组，若是equals那么就把str的下标赋值给该币种建图。下面就是floyd算法啦，初始化其它点为-1，对角线为1，采用乘法更新求最大值。

三.Bellman-Ford算法

        为了能够求解边上带有负值的单源最短路径问题，Bellman(贝尔曼，动态规划提出者)和Ford(福特)提出了从源点逐次绕过其他顶点，以缩短到达终点的最短路径长度的方法。Bellman-ford算法是求含负权图的单源最短路径算法，效率很低，但代码很容易写。即进行不停地松弛，每次松弛把每条边都更新一下，若n-1次松弛后还能更新，则说明图中有负环，无法得出结果，否则就成功完成。Bellman-ford算法有一个小优化：每次松弛先设一个flag，初值为FALSE，若有边更新则赋值为TRUE，最终如果还是FALSE则直接成功退出。Bellman-ford算法浪费了许多时间做无必要的松弛，所以SPFA算法用队列进行了优化，效果十分显著，高效难以想象。SPFA还有SLF，LLL，滚动数组等优化。

        关于SPFA，请看我这一篇http://www.cnblogs.com/hxsyl/p/3248391.html

        递推公式(求顶点u到源点v的最短路径)：

         dist 1 [u] = Edge[v][u]

         dist k [u] = min{ dist k-1 [u], min{ dist k-1 [j] + Edge[j][u] } }, j=0,1,…,n-1,j≠u

         Dijkstra算法和Bellman算法思想有很大的区别：Dijkstra算法在求解过程中，源点到集合S内各顶点的最短路径一旦求出，则之后不变了，修改  的仅仅是源点到T集合中各顶点的最短路径长度。Bellman算法在求解过程中，每次循环都要修改所有顶点的dist[ ]，也就是说源点到各顶点最短路径长度一直要到Bellman算法结束才确定下来。

        算法适用条件

• 1.单源最短路径(从源点s到其它所有顶点v)
• 有向图&无向图(无向图可以看作(u,v),(v,u)同属于边集E的有向图)
• 边权可正可负(如有负权回路输出错误提示)
• 差分约束系统(至今貌似只看过一道题)

        Bellman-Ford算法描述：

1. 初始化：将除源点外的所有顶点的最短距离估计值 d[v] ←+∞, d[s] ←0
2. 迭代求解：反复对边集E中的每条边进行松弛操作，使得顶点集V中的每个顶点v的最短距离估计值逐步逼近其最短距离；（运行|v|-1次，看下面的描述性证明(当做树)）
3. 检验负权回路：判断边集E中的每一条边的两个端点是否收敛。如果存在未收敛的顶点，则算法返回false，表明问题无解；否则算法返回true，并且从源点可达的顶点v的最短距离保存在d[v]中

        描述性证明：(这个解释很好)

        首先指出，图的任意一条最短路径既不能包含负权回路，也不会包含正权回路，因此它最多包含|v|-1条边。

其次，从源点s可达的所有顶点如果 存在最短路径，则这些最短路径构成一个以s为根的最短路径树。Bellman-Ford算法的迭代松弛操作，实际上就是按顶点距离s的层次，逐层生成这棵最短路径树的过程。

在对每条边进行1遍松弛的时候，生成了从s出发，层次至多为1的那些树枝。也就是说，找到了与s至多有1条边相联的那些顶点的最短路径；对每条边进行第2遍松弛的时候，生成了第2层次的树枝，就是说找到了经过2条边相连的那些顶点的最短路径……。因为最短路径最多只包含|v|-1条边，所以，只需要循环|v|-1 次。

每实施一次松弛操作，最短路径树上就会有一层顶点达到其最短距离，此后这层顶点的最短距离值就会一直保持不变，不再受后续松弛操作的影响。（但是，每次还要判断松弛，这里浪费了大量的时间，这就是Bellman-Ford算法效率底下的原因，也正是SPFA优化的所在）。

，如图(没找到画图工具的射线)，若是B和C的最短路径不更新，那么点D的最短路径肯定也无法更新，这就是优化所在。

如果没有负权回路，由于最短路径树的高度最多只能是|v|-1，所以最多经过|v|-1遍松弛操作后，所有从s可达的顶点必将求出最短距离。如果 d[v]仍保持 +∞，则表明从s到v不可达。

如果有负权回路，那么第 |v|-1 遍松弛操作仍然会成功，这时，负权回路上的顶点不会收敛。

           参考了《图论》。

        问题：Bellman-Ford算法是否一定要循环n-1次么？未必！其实只要在某次循环过程中，考虑每条边后，都没能改变当前源点到所有顶点的最短路径长度，那么Bellman-Ford算法就可以提前结束了(开篇提出的小优化就是这个)。

        上代码(参考了牛帅的博客)

#include

#include

using namespace std;

#define MAX 0x3f3f3f3f

#define N 1010

int nodenum, edgenum, original; //点，边，起点

typedef struct Edge //边

{

  int u, v;

  int cost;

}Edge;

Edge edge[N];

int dis[N], pre[N];

bool Bellman_Ford()

{

  for(int i = 1; i <= nodenum; ++i) //初始化

    dis[i] = (i == original ? 0 : MAX);

  for(int i = 1; i <= nodenum - 1; ++i)

    for(int j = 1; j <= edgenum; ++j)

      if(dis[edge[j].v] > dis[edge[j].u] + edge[j].cost) //松弛（顺序一定不能反~）

      {

        dis[edge[j].v] = dis[edge[j].u] + edge[j].cost;

        pre[edge[j].v] = edge[j].u;

      }

      bool flag = 1; //判断是否含有负权回路

      for(int i = 1; i <= edgenum; ++i)

        if(dis[edge[i].v] > dis[edge[i].u] + edge[i].cost)

        {

          flag = 0;

          break;

        }

        return flag;

}

void print_path(int root) //打印最短路的路径（反向）

{

  while(root != pre[root]) //前驱

  {

    printf("%d-->", root);

    root = pre[root];

  }

  if(root == pre[root])

    printf("%d\n", root);

}

int main()

{

  scanf("%d%d%d", &nodenum, &edgenum, &original);

  pre[original] = original;

  for(int i = 1; i <= edgenum; ++i)

  {

    scanf("%d%d%d", &edge[i].u, &edge[i].v, &edge[i].cost);

  }

  if(Bellman_Ford())

    for(int i = 1; i <= nodenum; ++i) //每个点最短路

    {

      printf("%d\n", dis[i]);

      printf("Path:");

      print_path(i);

    }

  else

    printf("have negative circle\n");

  return 0;

}

四.SPFA算法

        用一个队列来进行维护。初始时将源加入队列。每次从队列中取出一个元素，并对所有与他相邻的点进行松弛，若某个相邻的点松弛成功，则将其入队。直到队列为空时算法结束；这个算法，简单的说就是队列优化的bellman-ford，利用了每个点不会更新次数太多的特点发明的此算法(看我上面那个图，只有相邻点更新了，该点才有可能更新) 。

         代码参见 ： http://www.cnblogs.com/hxsyl/p/3248391.html

五.趣闻

        整理该篇博文的时候，一哥们发布网站到我们群，网站很精美，一牛神(acmol)使用fork炸弹，结果服务器立马挂啦，更改后又挂啦，目测目前无限挂中。。。

六、欢迎加群

　　本群创建于2011/7/4:  CodeForFuture（163354117，右侧有加群链接）......本群专注于互联网、电子商务及数据挖掘，群内成员来自各大高校的研究生和本科生（比如清华大学、北京大学、中山大学、北京联合大学、华南理工、江南大学、北航、计算所、上理、北邮，北交，山大、武汉地质、平顶山学院、同济、南工，悉尼大学、武汉理工、中国矿大、西安科技、华师、山东财经，华科、上大、河海、暨大、网络研究所、哈工大、山东科技、厦大，中南，湖南理工、深大、川大，哈尔滨商业学院......不再一一列举）以及各大公司的员工（比如百度、新浪、金山、航天科技集团，爱奇艺、华为科技，建行、乐逗游戏等等），还有猎头偶......期待您的加入，让我们一起从优秀走向卓越......

作者： 张朋飞

出处： http://www.cnblogs.com/hxsyl/

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posted @  2013-08-20 16:12  DM张朋飞 阅读( 38108) 评论( 52)  编辑  收藏

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评论列表

  

#51楼   2015-03-19 14:25  梦烬   

@DM张朋飞 哦，抱歉，看错了，建议把第一处改为T=V-S，可以有更好的可读性。

支持(0) 反对(0)

  

#52楼 [ 楼主]  2015-03-19 14:30  DM张朋飞   

@梦烬 恩恩，我又看了一遍，你这个建议不错

支持(0) 反对(0)

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历史上的今天:
2012-08-20  NYOJ 45
2012-08-20  POJ 3278(bfs)
2012-08-20  HDU 1247

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src="http://widget.weibo.com/relationship/followbutton.php?btn=red&style=3&uid=1625125434&width=100%&height=24&language=zh_cn" width="100%" height="24" frameborder="0" scrolling="no" marginheight="0" style="margin: 0px; padding: 0px;"> 你想要什么代码     本人张朋飞，微信公众账号为hxsyl_zpf，本科毕业(2014)于河南理工大学，目前仍在该校从事机器学习与推荐系统的研究工作；不仅喜欢自然科学、人文科学，对音乐、绘画、摄影等艺术类也略有涉猎，只是良师难觅，希望遇到志同道合的朋友，共同进步。本人现阶段的目标是---为让每个人平等地提升自我！！！          共有 32人喜欢  共 4条评论 登录 社区 140 发  布   或游客留言 按时间排序 BE MYSELF! (QQ空间) 大神厉害啊 回复 顶 4 2015-8-22 10:29 火星十一郎 (QQ空间) @BE MYSELF!: 请叫我渣渣 回复 顶 2月29日 21:56 满天星 (QQ空间) 我一个都看不懂 回复 顶 4 2015-8-16 10:59 火星十一郎 (QQ空间) @满天星: 慢看 回复 顶 2月29日 21:56 更多热评文章 Dijkstra算法（单源最短路径） Dijkstra算法 Floyd算法 NYOJ 7（街区最短路径问题） 友言[?] 昵称： DM张朋飞 园龄： 3年11个月 粉丝： 378 关注： 15 +加关注 < 2016年3月 > 日 一 二 三 四 五 六 28 29 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 1 2 3 4 5 6 7 8 9 随笔分类 AlgorithmAndDS(69) Android(17) Audition(17) C#(9) Collaborative Filtering Recommendation(23) Combinatorial Mathematics(16) Computational Geometry (19) DataMining(14) Design Patterns(4) Distributed Computing(4) DOS(9) DP(21) E-commerce (1) Function(15) Greedy(12) HDOJ(105) Html(5) Information Security(4) IR(11) Java(80) Linux(7) Machine Learning(34) Management and Etiquette(17) Mathematical Modeling(80) Multimedia(32) MySql(9) Network Programming(2) Notes On Papers(1) Notes On Reading Or Watching(31) NYOJ(86) Office(61) POJ(62) Python(3) Search(20) Software Engineering(2) STL(28) Translation(1) Unclassified(70) 分布式 公开课 Coursera 机器学习 LFM xiaopei 大数据 机器学习Matlab 机器学习推荐 进步的菜鸟 龙心尘 数盟 我爱机器学习 许佳铭 智能信息 计算所 NLP 聚类 西工大聂飞平 科研方法 施一公 可视化 D3 论坛 csdn代码下载 InfoQ 伯乐在线 开源中国社区 软件工程 邹欣 社会热点 博客中国 深度学习 zouxy 推荐系统 Grouplens Joseph A. Konstan 最新评论 1. Re:通俗解释遗传算法及其Matlab实现 博主好牛逼 --董秀秀 2. Re:浅谈高斯过程 @cocosip真的很简单...数学来源于实践... --DM张朋飞 3. Re:浅谈高斯过程 @DM张朋飞感觉很高大上啊，当年学的数学早就还给老师了... --cocosip 4. Re:浅谈高斯过程 @cocosip是啊 我只是刚接触... --DM张朋飞 5. Re:浅谈高斯过程 不懂，哈哈。这算是数学问题么 --cocosip 阅读排行榜 1. 彻底弄懂最短路径问题(38110) 2. JavaWeb工程中web.xml基本配置(18720) 3. Android检测版本更新(16524) 4. Java单例模式深入详解(16381) 5. 对Map按key和value分别排序(15112) 评论排行榜 1. 彻底弄懂最短路径问题(52) 2. 求一份实习工作(50) 3. 纯CSS制作二级导航(30) 4. 浅析hashCode方法(25) 5. 三大线性排序之桶排序(19) 推荐排行榜 1. 彻底弄懂最短路径问题(51) 2. Java反射机制深入详解(19) 3. 并查集与最小生成树(16) 4. Java单例模式深入详解(15) 5. 次小生成树问题探讨(14) Copyright ©2016 DM张朋飞 展开阅读全文 点赞 评论 分享 x 海报分享 扫一扫，分享海报 收藏 手机看 分享到微信朋友圈 x 扫一扫，手机阅读 文章举报 关注 收起全文 利用人工智能原理求最短路径问题 11-10 添加代码片 HTML/XML objective-c Ruby PHP C C++ JavaScript Python Java CSS SQL 其它 还能输入1000个字符 飘过的春风 04-06 785 最短路径问题---Dijkstra算法详解 1、最 短 路径 问题介绍 问题解释： 从图中的某个顶点出发到达另外一个顶点的所经过的边的权重和最小的一条 路径，称为最 短 路径解决 问题的算法：迪杰斯特拉算法（Dijkstra算法）弗洛伊德算法（Floyd算法）SPFA算法这篇博客，我们就对Dijkstra算法来做一个详细的介绍2、Dijkstra算法介绍思路一、其思想为，我们首先纪录下每个点到原点的距离，这个距离会在每一轮遍历的过程中刷新。每一个结点到原点...... t11383的博客 04-03 930 【算法概论】动态规划：最短路径问题 因为刚开始想着，既然在图中表示，就要用到图的存储结构等等吧，所以 水木今山的博客 12-05 9970 最短路径问题—Dijkstra算法及相关例题 最近在做算法题的时候总是遇到Dijkstra相关的题目，之前虽然学过图论的一些算法，但第一次做这类题时完全不知从何入手。看了一些博客，并且在PAT上折腾了几题后，发现一些常用的模板与套路，因此在这里进行一个总结。关于Dijkstra的理论知识可以参考这篇博客：最 短 路径 问题-Dijkstra算法详解Dijkstra算法Dijkstra算法往往和dfs结合在一起考，因此这里给出一个求解基础Dijk...... 不忘初心 04-24 1174 Java 算法：最短路径问题 最 短 路径 问题适合于有向图与无向图：应用： 路径规划：每个顶点就是城市，边就是道路。工作任务：从一个点起始任务到另一个点任务完成，边就是完成任务的耗费。例如无权图的广度优先遍历：结果就是求出了一个最 短 路径。 最 短 路径树（单源最 短 路径）：从一个节点寻找到其他节点的最 短 路径。无权图的最 短 路径：遍历了1和2 路径为长度为1，此时这两个点就是最 短...... 蒟蒻的博客 01-19 730 最短路径问题【四种方法】 最 短 路径 问题题目平面上有n个点(N&amp;amp;lt;=100)，每个点的坐标均在-10000~10000之间。其中的一些点之间有连线。若有连线，则表示可从一个点到达另一个点，即两点间有通路，通路的距离为两点直线的距离。现在的任务是找出从一点到另一点之间的最 短 路径。输入输入共有n+m+3行，其中：第一行为一个整数n。第2行到第n+1行（共n行），每行的两个整数x和y，描述一个点的坐标(以一个空格隔...... c++经典例题 01-28 3713 Problem : 最短路径问题（最短路径解法一） Problem : 最 短 路径 问题欢迎各个大佬前来指教！ 问题描述：平面上有n个点（n&amp;amp;lt;=100），每个点的坐标均在-10000~10000之间。其中的一些点之间有连线。若有连线，则表示可从一个点到达另一个点，即两点间有通路，通路的距离为两点间的直线距离。现在的任务是找出从一点到另一点之间的最 短 路径。输入格式：共n+m+3行，其中:第一行为整数n。第2行到第n+1行（共n行），每行...... jokes000的专栏 04-29 1万+ 最短路径问题（Dijkstra解法） 算法分类：贪心算法原理：设置一个顶点的集合s，并不断地扩充这个集合，一个顶点属于集合s当且仅当从源点到该点的 路径已求出。开始时s中仅有源点，并且调整非s中点的最 短 路径长度，找当前最 短 路径点，将其加入到集合s，直到终点在s中。基本步骤：1、把所有结点分成两组：       第一组：包括已经确定最 短 路径的结点；       第二组：包括尚未确定最 短 路径的结点... Gaoithe的博客 06-16 5600 单源最短路径问题-迪杰斯特拉算法(Dijsktra) 一、 问题描述：给定一个带权有向图G=(V,E) ，其中每条边的权是一个非负实数。再给定 V 中的一个顶点，称为源，计算源到所有顶点的最 短距离。实例：单源最 短 路径（弱化版）https://www.luogu.org/problemnew/show/P3371二、 求取过程：1. 从起点开始，查找所有与起点直接相连的点，并把连接它们的边权值作为起点到它们的距离(有平行边取最...... summer 09-25 3万+ 动态规划算法--最短路径问题 问题：从某顶点出发，沿图的边到达另一顶点所经过的 路径中，各边上权值之和最小的一条 路径——最 短 路径。下面将用Dijkstra算法解决最 短 路径 问题。最 短 路径有一个重要特性：如果由起点A经过P点和H点而到达终点G是一条最 短路线，则由点P出发经过H点到达终点G的这条子路线，对于从点P出发到达终点的所有可能选择的不同路线来说，必定也是最 短路线。如下图： 例题分析：求从A到G的最 短 路径... chen_bin_的博客 07-10 620 最短路径问题实现思路 把从一个顶点v0到到途中其余任意一点v1 路径上所有边权值之和定义为该 路径带权 路径长度，带权 路径长度最 短的那条 路径称作最 短 路径。求解最 短 路径的算法通常依赖于一种性质，两点之间的最 短 路径也包含了 路径上其它顶点的最 短 路径。带权有向图最 短 路径 问题分为两类：1、单源最 短 路径2、每一对顶点间的最 短 路径Dijkstra算法求单源最 短 路径 问题求带权有向图某个源点到其余各顶点的最 短 路径，常用Dijkst...... chen10217的博客 08-23 1221 matlab解决最短路径问题 最 短 路径 问题写在前面两种表示方法minpath的安装minpath的使用写在前面最 短 路径 问题是图论研究中的一个经典算法 问题。它旨在寻找图（由结点和 路径组成的）中两结点之间的最 短 路径。这次主要是提供一个解决最 短 路径 问题的matlab app。本次分享的最 短 路径 问题app仅针对无向图，实际上由于单行道存在，很多时候实际 问题是一个有向图，有向图内容我们将在后期介绍。两种表示方法邻接矩阵法...... 学愈进而愈惘 07-10 2904 数据结构 学习笔记（八）：图（中）：最短路径问题（单源最短路径 Dijkstra，多源最短路径 Floyd） 7.1 最 短 路径 问题7.1.1 概述图论里最少的步骤就是最 短 路径 问题。最 短 路径 问题的抽象在网络中，求两个不同顶点之间的所有 路径中，边的权值之和最小的那一条 路径。这条 路径就是两点之间的最 短 路径。第一个顶点为源点，最后一个顶点为终点。 问题分类单源最 短 路径 问题：从某固定源点出发，求其到所有其他顶点的最 短 路径。单源最 短 路径 问题又分为两类： - （有向）无权图 - （有向）有权图多源最 短 路径 问题：求任... William 03-11 18万+ 最短路径问题---Floyd算法详解 前言 Genius only means hard-working all one’s life. Name:Willam Time:2017/3/81、最 短 路径 问题介绍 问题解释： 从图中的某个顶点出发到达另外一个顶点的所经过的边的权重和最小的一条 路径，称为最 短 路径解决 问题的算法：迪杰斯特拉算法（Dijkstra算法） 弗洛伊德算法（Floyd算法） SPFA算法 之前已经对Di... little_Yellow的博客 02-15 192 单源最短路径问题——Dijkstra算法（C） 最近学习了求解最 短 路径 问题的常用的几个算法，最 短 路径 问题包括单源最 短 问题和多源最 短 问题；单源最 短 路径 问题有以下特点：（1）数据源为有向图；（2）指定的一点到其余各顶点的最 短 路径；Dijkstra算法是解决单源最 短 路径 问题的一种常用算法, 不可以处理带负权边的图；源码及相应注释如下:#include int main(){ int i,j,k,t1,t2,...... 进阶女学霸 08-24 192 图的应用1---单源最短路径问题 最 短 路径介绍最 短 路径 问题是图论研究中的一个经典算法 问题，旨在寻找图中两结点之间的最 短 路径。 算法具体的形式包括：确定起点的最 短 路径 问题，即已知起始结点，求最 短 路径的 问题。确定终点的最 短 路径 问题，与确定起点的 问题相反，该 问题是已知终结结点，求最 短 路径的 问题。在无向图中该 问题与确定起点的 问题完全等同，在有向图中该 问题等同于把所有 路径方向反转的确定起点的 问题。确定起点终点的最 短 路径 问题 - ...... weixin_42044037的博客 08-19 1万+ 贪心算法之单源最短路径问题 给定带权有向图G=(V,E),其中每条边的权都是非负数。给定一个起始顶点，成为源。计算从源到所有其他定点的最 短 路径长度。 路径长度是各边权重之和。该 问题称为单源最 短 路径 问题。 基本思想：Dijkstra算法（迪杰斯特拉算法）是解单源最 短 路径 问题的贪心算法。 Dijkstra算法特点：以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止，是一种广度优先搜索方法。 Dijkstra算法原理：最优子 路径存...... 小猪快跑 01-22 621 算法：Floyd-Warshall 算法：Floyd-Warshall a656418zz的博客 05-19 645 【数据结构】图-最短路径问题 最 短 路径 问题的抽象·在网络中，求两个不同顶点之间的所有 路径中，边的权值之和最小的那一条 路径这条 路径就是两点之间的最 短 路径（shortest path）第一个顶点为源点（source）最后一个顶点为终点（destination） 问题分类：单源最 短 路径 问题：从某固定源点出发，求其到所有其他顶点的最 短 路径。（有向）无权图（有向）有权图多源最 短 路径 问题：求任意两顶点间的最 短 路径无权图的...... ©️2020 CSDN 皮肤主题: 编程工作室 设计师: CSDN官方博客 返回首页 目录 利用人工智能原理求最短路径问题 11-10 最短路径问题---Dijkstra算法详解 04-06 785 【算法概论】动态规划：最短路径问题 04-03 930 最短路径问题—Dijkstra算法及相关例题 12-05 9970 Java 算法：最短路径问题 04-24 1174 最短路径问题【四种方法】 01-19 730 Problem : 最短路径问题（最短路径解法一） 01-28 3713 最短路径问题（Dijkstra解法） 04-29 1万+ 单源最短路径问题-迪杰斯特拉算法(Dijsktra) 06-16 5600 动态规划算法--最短路径问题 09-25 3万+ 最短路径问题实现思路 07-10 620 matlab解决最短路径问题 08-23 1221 数据结构 学习笔记（八）：图（中）：最短路径问题（单源最短路径 Dijkstra，多源最短路径 Floyd） 07-10 2904 最短路径问题---Floyd算法详解 03-11 18万+ 单源最短路径问题——Dijkstra算法（C） 02-15 192 图的应用1---单源最短路径问题 08-24 192 贪心算法之单源最短路径问题 08-19 1万+ 算法：Floyd-Warshall 01-22 621 【数据结构】图-最短路径问题 05-19 645 应支付 0元 点击重新获取 扫码支付 支付成功即可阅读