OpenGL投影矩阵
目录
1.综述
2.透视投影
3.正交投影
综述
电脑屏幕是2D表面，必须将OpenGL渲染的3D场景作为2D图像投影到计算机屏幕上，所以就需要用到投影变换 M p M_p Mp。首先， M p M_p Mp将所有顶点数据从眼睛坐标转换为裁剪坐标。然后，这些裁剪坐标的各分量（x,y,z）通过除以w分量被变换到规范化坐标（NDC）。所以 M p M_p Mp其实做了两步操作：
- 将相机空间坐标变换到投影空间
- 将投影空间坐标变换到NDC空间
因此，我们必须记住裁剪（视锥体剔除）和NDC变换都集成到了 M p M_p Mp变换中，下面的章节描述了怎样从left、right、bottom、top、near、far这6个参数构造投影矩阵 M p M_p Mp。需要注意的是视锥裁剪是在各个分量( x c x_c xc、 y c y_c yc、 z c z_c zc)除以 w c w_c wc之前完成的。 x c x_c xc、 y c y_c yc、 z c z_c zc通过与 w c w_c wc作比较，如果任何裁剪空间坐标比 − w c -w_c −wc小，或者比 w c w_c wc大这个坐标都将会被丢弃。 − w c < x c , y c , z c < w c -w_c<x_c,y_c,z_c<w_c −wc<xc,yc,zc<wc
然后，OpenGL将重新绘制发生裁剪过的的多边形边缘（如下图所示）。
透视投影
在透视投影中，一个3D点在从金字塔平截头视锥体空间（相机空间）被映射到一个立方体空间（NDC）;其各分量范围被如下映射：
x: [l,r]->[-1,1]
y: [b,t]->[-1,1]
z: [-n,-f]->[-1,1]
注意，相机空间是在右手坐标系中定义的，但是NDC使用的是左手坐标系。也就是说，原点处的相机沿着相机空间中 − Z -Z −Z轴看，但是在NDC空间中它是看向 + Z +Z +Z轴的。由于 glFrustum() 的near和far参数只接受正数，所以我们需要在构造投影矩阵的时候需要让他们乘以 − 1 -1 −1变为负数。
在OpenGL中，一个在相机空间的3D点会被投影到近平面（投影平面）上。下图展示了如何将相机空间中的点 ( x e , y e , z e ) (x_e,y_e,z_e) (xe,ye,ze)投影到近平面上 ( x p , y p , z p ) (x_p,y_p,z_p) (xp,yp,zp)。
从视锥体的顶视图来看，相机空间的x坐标， x e x_e xe被映射到 x p x_p xp，其通过使用相似三角形的比率来计算，如下所示：
从视锥体的侧视图来看， y p y_p yp也是类似的方式计算：
注意， x p 和 y p x_p和y_p xp和yp取决于 z e z_e ze；他们与 − z e -z_e −ze成反比。换句话说，他们都被 − z e -z_e −ze除。这是构造投影矩阵 M p M_p Mp的第一条线索。在通过乘以 M p M_p Mp矩阵来变换眼睛坐标系之后，裁剪坐标仍然是齐次坐标。它最终需要变为归一化设备坐标（NDC），所以还需要除以裁剪坐标的 w w w分量。
因此，我们可以将裁剪坐标的 w w w分量设置为 − z e -z_e −ze。并且， M p M_p Mp矩阵的第4行变为 ( 0 , 0 , − 1 , 0 ) (0,0,-1,0) (0,0,−1,0)。
接下来，我们将 x p x_p xp和 y p y_p yp映射到具有线性关系的NDC空间的 x n x_n xn和 y n y_n yn:
[l，r]⇒[-1,1]
[b，t]⇒[-1,1]
然后，我们将 x p x_p xp、 y p y_p yp代入上述方程式。
注意，我们使每个方程都除以 − z e -z_e −ze，以进行透视除法 ( x c / w c , y c / w c ) (x_c/w_c,y_c/w_c) (xc/wc,yc/wc).我们之前将 w c w_c wc设置为 − z e -z_e −ze，并且括号内术语变为裁剪坐标系的 x c x_c xc和 y c y_c yc。
从这些方程式中，我们可以找到 M p M_p Mp的第1行和第2行。
现在，我们只有用第3行的 M p M_p Mp来解决。 z n z_n zn与其他算法略有不同，因为相机空间中的 z e z_e ze总是被投影到近平面上的 − n -n −n。但是我们需要用于裁剪和深度测试的唯一 − z -z −z值，并且在以后我们不会去逆变换深度值。由于我们知道z不依赖于x或y值，因此我们借用 w w w分量来找到 z n z_n zn和 z e z_e ze之间的关系,可以像下面这样指定 M p M_p Mp的第3行。
在相机空间中， w e = 1.0 w_e=1.0 we=1.0因此等式变为：
z n = A z e + B − z e z_n= \frac{Az_e+B}{-z_e} zn=−zeAze+B
为了找到系数A和B，我们使用 ( z e , z n ) (z_e,z_n) (ze,zn)的关系； ( − n , − 1 ) (-n,-1) (−n,−1)和 ( − f , 1 ) (-f,1) (−f,1)，并将它们放入上面的等式中。
为了求解A和B的等式，重写B的等式（1）:
B = A n − n ( 1 ′ ) B=An-n (1') B=An−n(1′)
将方程（1’）代入方程（2）中的B，然后求解A:
将A放入方程（1）中以找到B ：
我们找到了A和B，因此 z e z_e ze和 z n z_n zn的变换如下：
最终，我们找到了全部 M p M_p Mp矩阵的元素，完成的矩阵如下所示：
上述矩阵是通用的视锥体矩阵。如果视锥是对称的（ r = − l r=-l r=−l和 t = − b t=-b t=−b），那么它可以被简化为如下矩阵：
在离开之前，请再看一下等式（3）中 z e z_e ze和 z n z_n zn的关系。可以注意到它是一个有理函数，并且 z e z_e ze和 z n z_n zn之间是非线性关系。这说明近平面的精度非常高，但远平面的精度非常低。如果范围[-n,-f]越来越大，则会导致深度精度问题（z-fighting）；远平面周围的 z e z_e ze的微小变化不会影响 z n z_n zn的值。 n n n和 f f f之间的距离应尽可能短，以最小化深度缓冲精度问题。
正交投影
构造用于正交投影的 M p M_p Mp矩阵比透视模式简单得多。
眼睛空间中的 所有 x e x_e xe， y e y_e ye和 z e z_e ze分量线性映射到NDC。我们只需要将矩形体积缩放到立方体，然后将其移动到原点。让我们使用线性关系找出 M p M_p Mp的元素。
由于正交投影不需要w分量，因此 M p M_p Mp矩阵的第4行保持为 ( 0 , 0 , 0 , 1 ) (0,0,0,1) (0,0,0,1)。因此，正交投影的完成矩阵如下：
如果视锥体是对称的（ r = − l 、 t = − b r=-l、t=-b r=−l、t=−b），进一步简化为：
