单源有权图的最短路径 Dijkstra算法(证明不能解决负权边)7.1.2

单源最短路径问题,即在图中求出给定顶点到其它任一顶点的最短路径。

 Dijkstra算法

假设存在G=,源顶点为0,U={0+已确定的最短路径顶点},dist[i]记录顶点0到顶点i的最短距离(包括确定的和估算的),path[i]记录从0到i路径上的i前面的一个顶点。

U中收录的是已确定的最短路径顶点,比如2被U收录的话就代表dist[2]的值就是顶点0到顶点2的最短路径,后面操作不需要再更新它。

步骤如下

初始化:dist[i]=0->i,U={0},path[0]=-1。(->这里表示图中顶点到另一顶点的权重)

循环:

1、路径中不包括负权边的情况下未收录顶点中dist值最小的就是真正的最短距离,收录到U中,用于标记它已经确定了,后面不需要再更新它

2、上一步确定一个顶点V后,此顶点V的邻接点W的dist值可能受到影响(除去U收录的顶点外:dist[W]=MIN(dist[W],dist[V]+V->W),path[W]=V;)。

3、重复以上步骤直到U收录了所有顶点,i属于任何顶点时此时dist[i]都表示真正的(已确定)最短距离


证明不能解决负权边

单源有权图的最短路径 Dijkstra算法(证明不能解决负权边)7.1.2_第1张图片


C语言代码实现如下

    #include  
    #include  
    #include
    #define INFINITY 65535        /* ∞设为双字节无符号整数的最大值65535*/    
    #define MaxVertexNum 100    /* 最大顶点数设为100 */    
    typedef int Vertex;         /* 用顶点下标表示顶点,为整型 */    
    typedef int WeightType;        /* 边的权值设为整型 */    
    typedef char DataType;        /* 顶点存储的数据类型设为字符型 */    
        
    bool U[MaxVertexNum]; 
    int dist[MaxVertexNum]; 
    int path[MaxVertexNum];
      
      
    /* 边的定义 */    
    typedef struct ENode *PtrToENode;    
    struct ENode{    
        Vertex V1, V2;      /* 有向边 */    
        WeightType Weight;  /* 权重 */    
    };    
    typedef PtrToENode Edge;    
         
    /* 邻接点的定义 */    
    typedef struct AdjVNode *PtrToAdjVNode;     
    struct AdjVNode{    
        Vertex AdjV;        /* 邻接点下标 */    
        WeightType Weight;  /* 边权重 */    
        PtrToAdjVNode Next;    /* 指向下一个邻接点的指针 */    
    };    
         
    /* 顶点表头结点的定义 */    
    typedef struct Vnode{    
        PtrToAdjVNode FirstEdge;/* 边表头指针 */    
        DataType Data;            /* 存顶点的数据 */    
        /* 注意:很多情况下,顶点无数据,此时Data可以不用出现 */    
    } AdjList[MaxVertexNum];    /* AdjList是邻接表类型 */    
         
    /* 图结点的定义 */    
    typedef struct GNode *PtrToGNode;    
    struct GNode{      
        int Nv;     /* 顶点数 */    
        int Ne;     /* 边数   */    
        AdjList G;  /* 邻接表 */    
    };    
    typedef PtrToGNode LGraph; /* 以邻接表方式存储的图类型 */    
      
    LGraph CreateGraph( int VertexNum )    
    { Vertex V;  
    /* 初始化一个有VertexNum个顶点但没有边的图 */    
    LGraph Graph=(LGraph)malloc(sizeof(struct GNode));  
    Graph->Nv=VertexNum;  
    Graph->Ne=0;  
     /* 初始化邻接表头指针 */    
        /* 注意:这里默认顶点编号从0开始,到(Graph->Nv - 1) */    
           for (V=0; VNv; V++)    
            Graph->G[V].FirstEdge = NULL;    
                     
        return Graph;     
    }   
      
    void InsertEdge( LGraph Graph, Edge E )  {  
      
    PtrToAdjVNode NewNode;    
             
        /* 插入边  */    
        /* 为V2建立新的邻接点 */    
        NewNode = (PtrToAdjVNode)malloc(sizeof(struct AdjVNode));    
        NewNode->AdjV = E->V2;    
        NewNode->Weight = E->Weight;    
        /* 将V2插入V1的表头 */    
        NewNode->Next = Graph->G[E->V1].FirstEdge;    
        Graph->G[E->V1].FirstEdge = NewNode;    
                 
        /* 若是无向图,还要插入边  */    
        /* 为V1建立新的邻接点 */    
        NewNode = (PtrToAdjVNode)malloc(sizeof(struct AdjVNode));    
        NewNode->AdjV = E->V1;    
        NewNode->Weight = E->Weight;    
        /* 将V1插入V2的表头 */    
        NewNode->Next = Graph->G[E->V2].FirstEdge;    
        Graph->G[E->V2].FirstEdge = NewNode;    
      
    }  
      
      
        LGraph BuildGraph()    
        {    
            LGraph Graph;    
            Edge E;    
            Vertex V;    
            int Nv, i;    
                 
            scanf("%d", &Nv);   /* 读入顶点个数 */    
            Graph = CreateGraph(Nv); /* 初始化有Nv个顶点但没有边的图 */     
                 
            scanf("%d", &(Graph->Ne));   /* 读入边数 */    
            if ( Graph->Ne != 0 ) { /* 如果有边 */     
                E = (Edge)malloc( sizeof(struct ENode) ); /* 建立边结点 */     
                /* 读入边,格式为"起点 终点 权重",插入邻接矩阵 */    
                for (i=0; iNe; i++) {    
                    scanf("%d %d %d", &E->V1, &E->V2, &E->Weight);     
                    /* 注意:如果权重不是整型,Weight的读入格式要改 */    
                    InsertEdge( Graph, E );    
                }    
              free(E);  
            }     
             
            /* 如果顶点有数据的话,读入数据 */    
            for (V=0; VNv; V++)     
                scanf(" %c", &(Graph->G[V].Data));    
             
            return Graph;    
        }    

void Dijkstra(LGraph Graph,Vertex V){
//初始化
    for(int i=0;iNv;i++)
    {dist[i]=INFINITY;U[i]=false;}
    PtrToAdjVNode W=Graph->G[V].FirstEdge;
    for(;W;W=W->Next)
        dist[W->AdjV]=W->Weight;
    dist[V]=0;U[V]=true;
    ///////////////
    while(true){
        //
        int Min=INFINITY;
        Vertex j;
        for(int i=0;iNv;i++)
            if(Min>dist[i]&&U[i]==false)
                {Min=dist[i];j=i;}
            printf("%d\n",Min );
        if(Min==INFINITY)
            break;
            U[j]=true;//找到最小的dist收录
            printf("%d->%d %d->%d[%d]\n",path[j],j,V,j,dist[j]);
        //
        W=Graph->G[j].FirstEdge;
        for(;W;W=W->Next)//对邻接点dist进行更新操作
            if(dist[W->AdjV]>dist[j]+W->Weight&&U[W->AdjV]==false)
                {dist[W->AdjV]=dist[j]+W->Weight;path[W->AdjV]=j;}

    }    

}
      
          
      
      
        int main(){  
        LGraph Graph=BuildGraph();
        Dijkstra(Graph,0);
        return 0;  
        }  

    #include  
    #include  
    #include  
    #define MaxVertexNum 100    /* 最大顶点数设为100 */    
    #define INFINITY 65535        /* ∞设为双字节无符号整数的最大值65535*/    
    typedef int Vertex;         /* 用顶点下标表示顶点,为整型 */    
    typedef int WeightType;        /* 边的权值设为整型 */    
    typedef char DataType;        /* 顶点存储的数据类型设为字符型 */    
    bool U[MaxVertexNum]; 
    int dist[MaxVertexNum]; 
    int path[MaxVertexNum];   
    /* 边的定义 */    
    typedef struct ENode *PtrToENode;    
    struct ENode{    
        Vertex V1, V2;      /* 有向边 */    
        WeightType Weight;  /* 权重 */    
    };    
    typedef PtrToENode Edge;    
                
    /* 图结点的定义 */    
    typedef struct GNode *PtrToGNode;    
    struct GNode{    
        int Nv;  /* 顶点数 */    
        int Ne;  /* 边数   */    
        WeightType G[MaxVertexNum][MaxVertexNum]; /* 邻接矩阵 */    
        DataType Data[MaxVertexNum];      /* 存顶点的数据 */    
        /* 注意:很多情况下,顶点无数据,此时Data[]可以不用出现 */    
    };    
    typedef PtrToGNode MGraph; /* 以邻接矩阵存储的图类型 */    
      
    MGraph CreateGraph( int VertexNum )    
    { /* 初始化一个有VertexNum个顶点但没有边的图 */    
        Vertex V, W;    
        MGraph Graph;    
             
        Graph = (MGraph)malloc(sizeof(struct GNode)); /* 建立图 */    
        Graph->Nv = VertexNum;    
        Graph->Ne = 0;    
        /* 初始化邻接矩阵 */    
        /* 注意:这里默认顶点编号从0开始,到(Graph->Nv - 1) */    
        for (V=0; VNv; V++)    
            for (W=0; WNv; W++)   
            if(V==W)   
                Graph->G[V][W]=0;  
            else    
                Graph->G[V][W] = INFINITY;    
                     
        return Graph;     
    }    
      
        void InsertEdge( MGraph Graph, Edge E )  {  
             /* 插入边  */    
             Graph->G[E->V1][E->V2] = E->Weight;        
             /* 若是无向图,还要插入边 */    
             Graph->G[E->V2][E->V1] = E->Weight;    
        }  
         
      
        MGraph BuildGraph()    
        {    
            MGraph Graph;    
            Edge E;    
            Vertex V;    
            int Nv, i;    
                 
            scanf("%d", &Nv);   /* 读入顶点个数 */    
            Graph = CreateGraph(Nv); /* 初始化有Nv个顶点但没有边的图 */     
                 
            scanf("%d", &(Graph->Ne));   /* 读入边数 */    
            if ( Graph->Ne != 0 ) { /* 如果有边 */     
                E = (Edge)malloc(sizeof(struct ENode)); /* 建立边结点 */     
                /* 读入边,格式为"起点 终点 权重",插入邻接矩阵 */    
                for (i=0; iNe; i++) {    
                    scanf("%d %d %d", &E->V1, &E->V2, &E->Weight);     
                    /* 注意:如果权重不是整型,Weight的读入格式要改 */    
                    InsertEdge( Graph, E );    
                }    
                free(E);  
            }     
             
            /* 如果顶点有数据的话,读入数据 */    
            for (V=0; VNv; V++)     
                scanf(" %c", &(Graph->Data[V]));    
             
            return Graph;    
        }    
      
void Dijkstra(MGraph Graph,Vertex V){
//初始化
    for(int i=0;iNv;i++)
    {dist[i]=Graph->G[V][i];U[i]=false;}
    dist[V]=0;U[V]=true;
    ///////////////
    while(true){
        //
        int Min=INFINITY;
        Vertex j;
        for(int i=0;iNv;i++)
            if(Min>dist[i]&&U[i]==false)
                {Min=dist[i];j=i;}
        if(Min==INFINITY)
            break;
            U[j]=true;//找到最小的dist收录
            printf("%d->%d %d->%d[%d]\n",path[j],j,V,j,dist[j]);
        //
        printf("%d\n",j );
        for(Vertex W=0;WNv;W++)//对邻接点dist进行更新操作
            if(Graph->G[j][W]!=INFINITY&&dist[W]>dist[j]+Graph->G[j][W]&&U[W]==false)
                {dist[W]=dist[j]+Graph->G[j][W];path[W]=j;}

    }    

}
      
       
      
        int main(){  
        MGraph Graph=BuildGraph();
        Dijkstra(Graph,0);
        return 0;  
        }  

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