数据结构之树【完善中】

一、树的概念

树是一种分组的层次结构。

树的定义：

树是n(n>=0)个数据元素的集合,在任意一棵非空树中，有如下特征

1. 有且只有一个根结点（无前驱结点）
2. 当n>1时，其他结点被分为若干个互不相交集合，并且每个集合又是一棵树

我们可以看到树的定义引用了集合的概念和迭代的概念。

二、树的表示方法

1. 文氏图
2. 圆括号
3. 凹入法
4. 树形图

三、基本术语

1. 结点：树的结点包含一个数据元素和若干指向其他子树的分支
2. 结点的度：结点的子节点的个数
3. 树的度：树的所有结点的度的最大值
4. 叶子结点：结点的度为0的结点
5. 分支结点：结点的度不为0的结点
6. 兄弟结点：同一个父结点下的子节点称为兄弟结点
7. 层数：根节点的层数为1，其他结点的层数为父节点的层数加1
8. 树的深度：所有结点层数的最大值
9. 森林：零棵或者有限棵互不相交的树称为森林
10. 有序树和无序数：结点的各子节点从左到右无序（可以互换）的树称之为无序树，否则称为有序树

四、二叉树

1、二叉树的定义

一种特殊的树，除了有树的特征外，还有如下特征：

1. 当结点数大于0时，该树由根节点和两个子树组成，分别称之为左子树和右子树
2. 左子树和右子树又是二叉树

2、二叉树的基本操作

1. CreateTree创建一棵二叉树
2. ShowTree用凹入法或者圆括号法显示一棵二叉树
3. PreOrder按照先序（根，左，右）遍历一棵二叉树上的所有结点
4. InOrder按照中序（左，根，右）遍历一棵二叉树上的所有结点
5. PostOrder按照后序（左，右，根）遍历一棵二叉树上的所有结点
6. LevelOrder按层次遍历一棵二叉树上的所有结点
7. Leafnum求一棵二叉树上的所有叶子结点
8. TreeDepth求一棵二叉树的深度

3、二叉树的性质

• 一棵二叉树的第i层至多有2分之i-1个结点
• 深度为h的一棵二叉树至多有2分之h-1个结点
• 对于一棵有n个结点的完全二叉树，若按照满二叉树的方式对结点进行编号，对于任意编号为i的结点，有如下性质

1. i等于1的结点为根结点，当i>1时，该结点的父节点编号为i/2
2. 当2i<=n时，该结点的左子结点编号为2i，当2i>n时,该结点没有左子节点
3. 当2i+1<=n时，该结点的右子节点编号为2i+1，当2i+1>n时，该结点没有右子节点

• 具有n（n>0）个结点的完全二叉树，其深度为floor（log2n）+1,floor表示向下取整
• 对于一棵非空的二叉树，设结点的度为0,1,2的结点的个数分别为n0,n1,n2，那么有：n0=n2+1