LeetCode刷题笔记(四）两个排序数组的中位数

题目：给定两个大小为 m 和 n 的有序数组 nums1 和 nums2 。

请找出这两个有序数组的中位数。要求算法的时间复杂度为 O(log (m+n)) 。

示例1：

nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]

中位数是 2.0

示例2：

nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]

中位数是 (2 + 3)/2 = 2.5

解法1:如果不考虑题目要求的时间复杂度，只需要遍历两个数组合成一个数组就可以得出中位数。

class Solution {
    public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
        int m = nums1.length;         //获取数组1的长度          
        int n = nums2.length;         //数组2的长度
        int length = m + n;           //合并数组的长度
        int[] result = new int[length];      //合并的结果数组
        for(int i = length-1;i>=0;i--){      //循环length-1次
             int num1 = m-1>=0?nums1[m-1]:Integer.MIN_VALUE;       //索引大于0时获取对应的值，否则赋值最小值  
             int num2 = n-1>=0?nums2[n-1]:Integer.MIN_VALUE;
             if(num1>num2){
                 result[i] = num1;                                //把数值更大的数赋值到结果数组对应位置，
                 m--;                                             //索引减一
             }else {
                 result[i] = num2;
                 n--;
             }
        }
        return (result[length/2]+result[(length-1)/2])/2.0;      //返回中位数
    }
}

就是把两个数组倒序遍历，比较后依次放入结果数组里面，获取一个有序的总的数组，然后返回中位数，就是取中间两个数的平均数。

时间复杂度：O(m+n)

空间复杂度：O(m+n)

解法2：题目要求O(log(m+n))的时间复杂度，一般来说都是分治法或者二分搜索。首先我们先分析下题目，假设两个有序序列共有n个元素（根据中位数的定义我们要分两种情况考虑），当n为奇数时，搜寻第(n/2+1)个元素，当n为偶数时，搜寻第(n/2+1)和第(n/2)个元素，然后取他们的均值。

假设序列都是从小到大排列，对于第一个序列中前p个元素和第二个序列中前q个元素，我们想要的最终结果是：p+q等于k-1,且一序列第p个元素和二序列第q个元素都小于总序列第k个元素。因为总序列中，必然有k-1个元素小于等于第k个元素。这样第p+1个元素或者第q+1个元素就是我们要找的第k个元素。
所以，我们可以通过二分法将问题规模缩小，假设p=k/2-1，则q=k-p-1，且p+q=k-1。如果第一个序列第p个元素小于第二个序列第q个元素，我们不确定二序列第q个元素是大了还是小了，但一序列的前p个元素肯定都小于目标，所以我们将第一个序列前p个元素全部抛弃，形成一个较短的新序列。然后，用新序列替代原先的第一个序列，再找其中的第k-p个元素（因为我们已经排除了p个元素，k需要更新为k-p），依次递归。同理，如果第一个序列第p个元素大于第二个序列第q个元素，我们则抛弃第二个序列的前q个元素。递归的终止条件有如下几种：
           1、较短序列所有元素都被抛弃，则返回较长序列的第k个元素（在数组中下标是k-1）
           2、一序列第p个元素等于二序列第q个元素，此时总序列第p+q=k-1个元素的后一个元素，也就是总序列的第k个元素

public class Solution {
    public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
        int m = nums1.length, n = nums2.length;
        int k = (m + n) / 2;
        if((m+n)%2==0){
            return (findKth(nums1,nums2,0,0,m,n,k)+findKth(nums1,nums2,0,0,m,n,k+1))/2;
        }   else {
            return findKth(nums1,nums2,0,0,m,n,k+1);
        }
        
    } 
    private double findKth(int[] arr1, int[] arr2, int start1, int start2, int len1, int len2, int k){
        // 保证arr1是较短的数组
        if(len1>len2){
            return findKth(arr2,arr1,start2,start1,len2,len1,k);
        }
        if(len1==0){
            return arr2[start2 + k - 1];
        }
        if(k==1){
            return Math.min(arr1[start1],arr2[start2]);
        }
        int p1 = Math.min(k/2,len1) ;
        int p2 = k - p1;
        if(arr1[start1 + p1-1]arr2[start2 + p2-1]){
            return findKth(arr1,arr2,start1,start2 + p2,len1,len2-p2,k-p2);
        } else {
            return arr1[start1 + p1-1];
        }
    }
}