《Matlab在数学建模中的应用》笔记2-非线性规划&整数规划

非线性规划（NP）

1. 定义：求一个函数min或max问题中，目标函数或约束条件至少有一个是非线性函数。

2. 一般形式：
   目标函数：
   
   约束条件：
   
   

其中，为模型的（NP）的决策变量；f称为目标函数；和称为约束函数。另外，称为等式约束；称为不等式约束。

1. Matlab标准形式
   
   

其中，f（x）是标量函数；A，B，Aeq，Beq是相应维数的矩阵和向量；C（x），Ceq（x）是非线性向量函数。

Matlab命令为

x=fmincon(fun,X0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB,NONLCON,OPTIONS)

其返回值为向量 x 。其中，fun为需额外用M文件定义的目标函数；X0为x的初始值；A,B,Aeq,Beq对应线性不等约束 Ax≤B 以及线性等式约束 Aeq⋅x=B ,如果没有线性约束，则一般令A=[ ]，B=[ ]，Aeq=[ ]，Beq=[ ]。LB&UB为变量 x 的下界和上界，若无约束，则为[ ]，若无下界则，LB=-inf，若无上界，则UB=inf。NONLCON为用M文件定义的非线性向量函数 C（x），Ceq（x） 。

1. Example
   
   minf(x)=x21+x22+8
   s.t.⎧⎩⎨⎪⎪x21−x2≥0−x1−x22+2=0x1,x2≥0

Matlab代码

%编写M文件fun1.m和fun2.m
function f=fun1(x)
f=x(1)^2+x(2)^2+8;

function [g,h]=fun2(x)
g=-x(1)^2+x(2);
h=-x(1)-x(2)^2+2;

[x,y]=fmincon('fun1',rand(2,1),[],[],[],[],zeros(2,1),[],'fun2')

整数规划（简单介绍）

1. 定义：规划的变量中（部分或全部）限制为整数

2. 求解算法多种（还未真正实现过）
   分支定界法：可求纯或混合整数性线性规划
   割平面法：可求纯或混合整数性线性规划
   隐枚举法：用于求解0-1整数规划，有过滤隐枚举法和分枝隐枚举法
   匈牙利法：解决指派问题（0-1规划特殊情形）
   蒙特卡罗法：求解各种类型的规划

3. 0-1整数规划（大概步骤）
   （1）先试探可行解，缩小范围
   （2）在小范围内穷举