梯度下降法Vs牛顿下降法

Author: Frank

在机器学习领域中，梯度下降法和牛顿下降法是两个非常有分量的方法。两者在本质上都是为了寻找极值点的位置，但是牛顿下降法的收敛速度更快。下面以单变量函数为例来进行基本的解释。

牛顿下降法的递推公式： 

梯度下降算法的递推公式： 

xn+1=xn−μ∗f′(xn)

方法比较：

一般称 梯度下降法用平面去拟合当前的局部曲面，牛顿法用二次曲面来拟合。下图中红色的收敛轨迹代表牛顿法，另一条为梯度下降法。

原理阐释：

梯度下降法：

一阶泰勒展式如下所示： 

f(x+Δx)≈f(x)+f′(x)∗Δx

在通过迭代寻找极小值点过程中，就是寻找Δx，使得迭代之后的点x+Δx对应的f(x+Δx)  由上式可知，只需要 f′(x)∗Δx<0即可。从而可令：

简单的方法就是： 

Δx=−f′(x)Δx=−f′(x)

这样上式就变为 

f(x+Δx)=f(x)−f′(x)∗f′(x)

泰勒展式只在局部成立，Δx不能太大，但是取Δx=−f′(x) 有可能太大，从而需要加个小的修正的因子，上式就变为： 

Δx=−μ∗f′(x)Δx=−μ∗f′(x)

最终得到公式： 

xn+1=xn−μ∗f′(xn)xn+1=xn−μ∗f′(xn)

这就是为什么说梯度下降算法是用平面拟合函数的局部曲面。

牛顿下降法：

二阶泰勒展式如下所示：

f(x+Δx)≈f(x)+f′(x)Δx+1/2∗f′′(x)∗Δx2

同样希望迭代之后的点x+Δx对应的f(x+Δx)那么将左式看成是△x的函数，当取合适的△x值时，左边的式子达到极小值，此时导数为0，上式对Δx求导数，得： 

0=f′(x)+f′′(x)∗Δx0=f′(x)+f″(x)∗Δx

此时可得到公式： 

xn+1=xn−f′(xn)/f′′(xn)xn+1=xn−f′(xn)/f″(xn)

所以说牛顿下降法是用二次曲面来拟合函数的局部曲面。

两种方法的关系：

关于梯度下降算法，其中最重要的就是要确定步长μ，它的值严重的影响了梯度下降算法的表现。

接下来考虑如下公式： （迭代后x+Δx处的导数为零时，对应最理想的情况）

f′(x+Δx)=f′(x)+f′′(x)∗Δxf′(x+Δx)=f′(x)+f″(x)∗Δx

和 

Δx=−μ∗f′(x)Δx=−μ∗f′(x)

结合两个式子，得到： 

f′(x+Δx)=f′(x)−μ∗f′′(x)∗f′(x)f′(x+Δx)=f′(x)−μ∗f″(x)∗f′(x)

令左边的式子为0，得到： 

μ=1/f′′(x)μ=1/f″(x)

由此可见牛顿下降法是梯度下降法的最优情况，因此牛顿下降法的收敛的速度必然更快。

牛顿法同时考虑了目标函数的一、二阶偏导数，考虑了梯度变化趋势，因而能更合适的确定搜索方向加快收敛，但牛顿法也存在以下缺点：
1、对目标函数有严格要求，必须有连续的一、二阶偏导数，海森矩阵必须正定；
2、计算量大，除梯度外，还需计算二阶偏导矩阵及其逆矩阵。

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梯度法从初始点的领域开始判断，用目标函数的一阶偏导、以负梯度方向作为搜索方向，在局部进行下降，只考虑目标函数在迭代点的局部性质，然后步步逼近极值，往往是走之字型的。
牛顿法在二阶导数的作用下，从函数的凸性出发，直接搜索怎样到达极值点，也就是说在选择方向时，不仅考虑当前坡度是否够大，还会考虑你走了一步之后，坡度是否会变得更大。从收敛速度来看，梯度下降是线性收敛，牛顿法是超线性的，至少二阶收敛。

多变量函数需要用到Hessian matrix, 原理相同，可以参考：点击打开链接