数据结构与算法（C语言） | 树和二叉树 （二）二叉树

• 二叉树的定义：

二叉树（Binary Tree）是n（n>=0）个结点的有限集合，该集合或者为空集（空二叉树），或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。

二叉树与树的区别：

    二叉树不是树的特殊情形，而是与树不同的数据结构，即二叉树并不等价于2 度的树。

1)一个二叉树中可以不存在度为2的结点。（不是都需要两棵子树，而是最多可以是两棵，没有子树或者有一棵子树也都是可以的。）

2)二叉树中结点的子树有左、右之分，即使在只有一棵子树的情况下，也应分清是左子树还是右子树。  

 

• 特殊的二叉树

（一）满二叉树：在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。（深度为 k 且有2 k-1个结点的二叉树）

 

特点有：

–叶子只能出现在最下一层。

–非叶子结点的度一定是2。

–在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数一定最多，同时叶子也是最多。

（二）完全二叉树：对一棵具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为i(1<=i<=n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。（近似满二叉树，树中所含的 n 个结点和满二叉树中编号为 1 至 n 的结点一一对应。）

特点有：

–叶子结点只能出现在最下两层。

–最下层的叶子一定集中在左部连续位置。

–倒数第二层，若有叶子结点，一定都在右部连续位置。

–如果结点度为1，则该结点只有左孩子。

–同样结点树的二叉树，完全二叉树的深度最小。

 

•注意：满二叉树一定是完全二叉树，但完全二叉树不一定是满二叉树。

（三）严格二叉树（正则二叉树）：若二叉树中不存在度为1的结点，则称作严格二叉树。

• 二叉树的性质（可验证）

性质1——在二叉树的第 i 层上至多有 个结点 ( i≥1)。

性质2 ：深度为 k 的二叉树至多有 个结点 ( k≥1)。

性质3 ： 对于任何一棵二叉树，若它的叶子结点数为n0 ，2 度结点数为n2，则 。

       –再假设度为1的结点数为n1，则二叉树T的结点总数n=n0+n1+n2

       –其次我们发现连接数总是等于总结点数n-1，并且等于n1+2*n2

        –所以n-1=n1+2*n2

        –所以n0+n1+n2-1=n1+n2+n2

–最后n0=n2+1

性质4 ：具有n 个结点的完全二叉树的深度为。

设完全二叉树的深度为 k        则根据性质2 和完全二叉树的定义有

即           ∵ k 是整数    ∴ k =

性质5:若对一棵有 n 个结点的完全二叉树自上而下先左后右进行从 1 至 n 的编号(即按层次次序编号),

则对完全二叉树中任意一个编号为 i 的结点, 有：
(1) 若 i=1，则该结点是二叉树的根，无双亲，否则，其双亲结点是编号为 的结点;
(2) 若 2i>n，则该结点无左孩子，否则，其左孩子结点是编号为 2i 的结点；
(3) 若 2i+1>n，则该结点无右孩子结点，否则，其右孩子结点是编号为2i+1 的结点。

 

 

 （一）二叉树的顺序存储结构：就是用一维数组存储二叉树中的各个结点，并且结点的存储位置能体现结点之间的逻辑关系。

完全二叉树优势如下（数组直接能表现出逻辑结构）：

• 二叉树的存储结构：二叉树是一种特殊的树，由于它的特殊性，使得用顺序存储结构或链式存储结构都能够简单实现。

一般情况（不存在结点用^表示）：

极端情况（造成极大浪费）：

 

 

 （二）二叉树的链式存储结构： 

//二叉链表
typedef struct BiTNode
{
    TElemType data;
    struct BiTNode *lchild,*rchild;
}BiTNode,*BiTree;
//结构体类型，结构体指针类型