平面梁问题 差分

深梁：跨高比<2的简支单梁 或 跨高比<2.5的多跨连续梁。跨度与高度接近的梁。

平面问题：这个梁在z方向不受力且横截面不随z轴变化，z轴方向为梁的厚度t，t远小于其他两个长度，这就是平面应力问题，我只需要分析一个面而已。
正方形梁，长宽为6h。
在此我要用差分求解该问题。也可以用有限元求解。

划分节点：
长宽各划分6段，即7个节点。共49个节点。截面关于y轴对称，我只求半个截面的值即可，另半个截面与其相同。
橘黄色是对梁划分的节点共28个节点。白色是虚节点，是为了计算梁上的节点而创建的，有的空格没有虚节点，虽可算出该虚节点的值 但对 计算梁上节点的值没有用，所以就不算了。

以A节点为基点，∂Φ/∂x=0 ∂Φ/∂y=0  Φ=0
通过A节点，计算出其余边界上的节点 B C D E F G H I J K L M

公式：

公式1表示  B节点的∂Φ/∂x等于A与B节点之间的y方向的外力的合力
公式2表示  B节点的∂Φ/∂y等于A与B节点之间的x方向的外力的合力
公式3表示  B节点的Φ等于A与B节点之间的外力对B节点的矩
这是路径积分，举个例子：
计算K节点的Φ，A与K节点的边界路径为：A B C D E F G H I J K
D点处有支反力-3qh，J到M上有均布载荷q。力矩取顺时针为正。
所以K节点的 Φ=3qh*h-qh*h/2=2.5qh**2。其余节点的计算也如此。

通过计算出的边界节点，计算虚节点的值16 17 18 19 20 21 22 23  24 25 26
举例：通过边界节点A的(∂Φ/∂y)与内节点13的Φ 来计算19节点的Φ，(∂Φ/∂y)A=(Φ19-Φ13)/(2*h)，得Φ13=Φ19
通过(∂Φ/∂x)I=(Φ22-Φ3)/(2*h)，得Φ3=Φ22+6qh**2
同理，利用差分公式将其余虚节点与内节点建立关系。 记为方程1

通过虚节点与边界节点推出内节点。
将应力函数的重调和方程转化为差分公式。
列出每个内节点的差分公式，共列出15个方程。记为方程2

通过方程1与2，共26个方程，11个虚节点+15个内节点共26个未知数。所以可以解出内节点的应力函数值。

通过内节点与边界节点的应力函数值，计算应力。
举例：计算M节点处 x方向的应力
(σx)M = ((Φ1+Φ16)-2*ΦM)/(2h)=-0.28q
注：σx为Φ对y的二次偏导，σx=Φyy，二阶偏导的差分公式为((Φ1+Φ16)-2*ΦM)/(2h)

程序我就不写了，会了原理就行。
 

对比：
通过材料力学 欧拉-伯努利梁理论来计算M点处的σx
σ=M*y/I
(σx)M = (3qh*3h-3qh*1.5h)*3h/((t*(6h)**3)/12)=0.75q/t
这里取t=1，那么(σx)M=0.75q

可见，弹性力学与材料力学计算出来的结果是不一样的。弹性力学是普遍的复杂的，材料力学是特殊的简单的。