关于算法优化的思路启发

拿到一个算法题无从下手？怎么办？

我们总是会习惯于责怪自己的知识不足，掌握的数据结构和各种算法不够多，然而，刷题并不是需要等你学完所有的知识才回头进行的过程。

我们需要明确的几件事：

1.暴力、模拟、枚举、dfs等方法最简单有效却最慢

2.上述方法慢的原因是多了很多不必要过程，这些过程经过优化就是所谓的高级算法

举个很简单的例子：

现给出n个数，需求是给出i，要你求1~i位置上的最大值，设查询次数为m。

暴力法：每次询问遍历一遍记录最大值，O(m*len)。

优化思路：假设我们现在有1~i位置的最大值，那么在求1~i+1的查询结果时，只需要max(result(1,i),A[i+1])就可以得到结果。

那么如果查询的i不是依次间隔为1上升呢？

如果题目不是要求强制在线，那我们为什么不能将所有的查询升序排序，现假设第i次的查询为m(i)，那么由mi推到m(i+1)，只需要遍历得到m(i)+1~m(i+1)上的最大值，和mi的查询结果取max即可，这就是莫队算法（优雅暴力），复杂度就是遍历一遍整个数组O(n)。

如果题目要求结果按照输入的顺序输出结果，你是不是要叹气没法优化了呢？

哎呀呀，它又不是让你一定要查询一次输出一次，那么你只要把查询和它的输入顺序绑定，将查询排序后，按照上述的优化求解，最后把结果放到某个数组中和该查询绑定的输入顺序的索引上，不就可以了吗。

如果再变态一点，要求你一次查询一次输出怎么办呢？

等一下，别总是叹气呀，谁说没有办法了。刚刚我们的优化全是在查询上做的，现在人家只是不让你在查询上动手脚，那可以找别的方法嘛！

你想想，他的mi的取值范围是[1,n]，所以你只要把这n种情况处理一下，最后查询的时候直接从所有的解里面拿出需要的不就好了，n种情况处理的复杂度就是遍历一遍数组，复杂度是O(n)。

 

那么更高级一点的优化呢？那就和数据结构扯上关系了。我们知道没有一种数据结构可以解决所有的问题【你发明了，下一届图灵奖就是你的】。各种数据结构都有它擅长解决的问题，也有它自身的缺陷。

优化和数据结构有什么关系呢？当然有咯。

举个栗子叭，现在有n个空队列，现在有如下几种操作：1.翻转队列  2.将某个队列接到另一个队列的后面  3.从队列头取值（空队列输出-1）

先从暴力模拟看起：暴力模拟它的行为，开n个队列，按照相应的操作进行维护。可以手动实现队列，也可以用语言自带的，不过终究是常数级的优化罢了，不改暴力之面目。

说好的优化呢？我们看一下这几个操作，取值O(1)，无法优化，翻转O(len)，有点费时哦，想想办法，重接链表O(len)，看来优化的重点自然是后面两个了。

首先呢，对于翻转，我们不要学乖，让你翻转你偏不翻转，找一些别的方法，比如，打个标记reverse，如果标记为真，表示已经翻转，那么这个时候找头即是找尾，复杂度瞬间变成O(1)了耶！

再来：重接队列。emmm，没有办法嘛？nonono，一样可以打个标记over嘛，如果队尾的over为真，表示这个尾巴不是真的尾巴，而这个值，可以表示真的尾巴所在的队列的索引，然后去那个队列里面找。等一下！这样的话，接过来的那个队列不就不能用了嘛？？？题目让你开n个你就开n个嘛，就不会多开点，然后建立一张索引表，建立起 队列号->真索引 的映射，又解决了不是，O(1)。嗯，乍看没问题，可是，如果重链接操作过多，数组有可能不够用呢，怎么办呢？

我们绝对不能去复制，这样就成了O(len)的算法，怎么办，有没有适合重接的数据结构呢？链表哇！！！这次可是基于数据结构的优化呢！！！再细细抠一下，因为存在先翻转后重接的情况，所以需要建成双向链表。题解完毕。

怎么样，虽然没有说到一些数学上的优化，但是这些优化对付一般的题目完全足够了哦。

附：如果一个题目的数据状况足够特殊，一般会暗示着与数据状况有关的优化。

例：先给出一个m*n矩阵，矩阵每行，每列都呈单调递增性质，要求你在这个矩阵内找到某个元素x。

A.暴力法：遍历矩阵，找到x则跳出，复杂度O(mn)。

B.让我们先单独考虑一个点A(i,j)：

1.假设比x小，并且A(i,j+1)比x大，即A(i,j)是第i行比x小的最大元素，那么如果我们要找x应该去A(i,j)的下方去找，也就是A(i+1~m,j)。

2.假设比x小，并且A(i+1,j)比x大，即A(i,j)是第i列比x小的最大元素，那么如果我们要找x应该去A(i,j)的右方去找，也就是A(i,j+1~n)。

3.假设比x大，那么此时应该是向左或者向上找。

查询起点的选定：我们可以明确的事是A(1,1)是这个矩阵中的最小元素，A(m,n)是最大元素，A(1,n)在第1行最大，第n列最小，A(m,1)在第m行最小，第1列最大。如果选取A(1,1)或者A(m,n)为起点的话，我们在初始的时候就会有两个方向可选，这样很容易在矩阵内画圈行走。

所以我们可以考虑A(1,n)为起点，然后规定行中行走是按照递减的，列中按照递增的，于是我们可以知道，这个约束就是让路线的终点指向A(m,1)，行走约束变更：

1.在行中，向左找到一个不小于x的最小元素，如果这个元素等于x，返回坐标，否则下一步向下行走

2.在列中，向下找到一个不小于x的最小元素，如果这个元素等于x，返回坐标，否则下一步往左走

时间复杂度就是O(m+n)。

加速策略：在行中， 由于矩阵的存储是二维数组，可以用二分的方法加速，复杂度O(m+logn)。

再优化：如果我们另外用一个help矩阵将矩阵的列按行存，我们在对列二分的时候，可以借用help矩阵，复杂度O(logmn)。

考虑空间浪费的情况下请自行取舍。