建模方法（十）-灰色预测模型GM（1，1）

**引言：**灰色预测的主要特点是模型使用的不是原始数据序列，而是生成的数据序列。其核心体系是灰色模型（Grey Model，简称GM），即对原始数据作累加生成（或其它方法生成）得到近似的指数规律再进行建模的方法。灰色预测模型对于不同问题采用不同模型，GM（1，1）模型主要解决生成序列是有指数变化规律，只能描述单调的变化过程。
**优点：**是不需要很多的数据，一般只需要4个数据就够，能解决历史数据少、序列的完整性及可靠性低的问题；能利用微分方程来充分挖掘系统的本质，精度高；能将无规律的原始数据进行生成得到规律性较强的生成序列，运算简便，易于检验，具有不考虑分布规律，不考虑变化趋势。缺点是只适用于中短期的预测，只适合指数增长的预测。
**灰色生成：**将原始数据列中的数据，按照某种要求作数据处理称为灰色生成。对原始数据的生成就是企图从杂乱无章的现象中去发现内在规律。常用的生成方式有累加生成，累减生成，均值生成，级比生成等。
这里举个例子说明累加生成：
公式：


我满可以看看生成前和生成后的区别：

这样将非负序列转换为了递增数列。如果我们想把这个累加生成的数列变回去，使用如下方法：

对于生成的数列，我们可以设想用一个指数曲线乃至一条直线来逼近这个生成的数列。于是我们构建一个一阶常微分方程来求解这个拟合曲线函数表达式。设：

我们对上诉微分方程进行如下处理：

其中我们设置了微分方程的初始条件即t=1这个时间点，它的值与原始数据列第一个取值一样，因为已知信息是离散值，所以我们的自变量t也为离散值所以可令t=k+1对式子进行化简。现在我们并不知道u和a的值，所以需要利用已有信息数据列对他们进行估计。

这里是近视讨论肯定结果不那么精确。

修正的X其实是一次累加生成再对其结果进行一次均值生成，公式：



最小二乘法的作用是计算未知数个数小于方程个数的情况下，未知数的使误差最小的取值，这里用于求u和a。从最后的结果可以看出，GM（1，1）只要针对指数变化且单调规律进行拟合，对于摆动序列就不行。

模型构建前检验：


其中的K=2，3…n。如果原始数据列不满足，需要对原始序列做必要的变换处理，使其落入可容覆盖内。即取适当的常数c ，作平移变换

Θ为上述的区间范围。

得到模型后的精度检验
分为：
1.残差检验
2.后验差检验
3.关联度检验

这里仅介绍比较简单的残差检验：


我们让模型对原始数据列进行预测，与原始结果比较，看看拟合度怎么样。残差指的是预测值与实际值的差值，即绝对误差。

给出GM（1，1）建模步骤：

（7.8）指的是最后的模型结果。

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