C++(数据结构与算法)82:---动态规划

一、动态规划的思想

• 动态规划的基础是最优原理
• 动态规划和贪婪算法一样，对一个问题的解是一系列抉择的结果：
  • 在贪婪算法中，我们依据贪婪准则做出的每一个抉择都是不可撤销的
  • 在动态规划中，我们要考察一系列抉择，以确定一个最优抉择序列是否包含最优抉择子序列

二、实际应用之最短路径

问题描述

• 我们要选择一条从源点s=1到目的顶点d=5的最短路径

动态规划的解决思想

• 第一步：可以选择顶点2、3、4
• 第二步：假设我们选择了顶点3，然后我们要决定从顶点3移动到顶点5
• 第三步：如果我们选择了一条从顶点3到顶点5的路径，但不是最短的。例如选择的子路径为3、2、5，其长度为9，则连起来的路径为1、3、2、5，其长度为11
• 第四步：如果用最短子路径3、4、5代替3、2、5，那么路径1、3、4、5的长度为7
• 因此，在上面我们需要不断的退回与重新判断，寻找到一条从1到5的最短路径，如果不是最短的就重新更换

三、实际应用之0/1背包问题

问题描述

• 有n个物品和一个容量为c的背包。物品i的重量为Wi，价值为p。现在要从n个物品中选出一些物品装入书包中
• 现在的最佳要求是：在装包的物品总重量不超过背包的容量下，使装入的物品总价值最高
• 问题描述是：

• 约束条件是：

• Xi=1表示物品装入背包，Xi=0表示物品没有装入背包

例如

• 假设n=3，w=[100,14,10]，p=[20,18,15]，c=116
• 如果选择x1=1，则剩余容量为116-100=16，那么接下来可行的解有：
  • 如果下一个可行解为[x2,x3]=[1,0]，则此次的总价值为100+18=118
  • 如果下一个可行解为[x2,x3]=[0,1]，则价值为100+15=115。因此，[x2,x3]=[0,1]并非最优解，所以要退回到第一步，选择x=[1,1,0]这个序列
• 如果选择x1=0，则剩余容量为116，那么接下来可行的解有：
  • 如果下一个可行解为[x2,x3]=[1,1]，则此次的总价值为18+15=33。因此，[x2,x3]=[1,1]并非最优解，那么需要退回到最开始，重新选择x1=1，然后再继续进行动态规则

四、实际应用之航费

问题描述

• 某航线价格表为：
  • 票价为$100的航线：从亚特兰大到纽约/或芝加哥；或从洛杉矶到亚特兰大
  • 票价为$20的航线：从芝加哥到纽约；或对于途径亚特兰大的旅客，从亚特兰大到芝加哥
• 为了省钱，需要选择中转机场：
  • 如果用（起点，终点）表示问题状态，那么在选择从洛杉矶到亚特兰大后，问题状态变成（亚特兰大，纽约）
  • 从亚特兰大直达纽约的票价为$100，所以从洛杉矶到纽约机票为$200
  • 让从亚特兰大途径芝加哥再到纽约的票价为$40.因此洛杉矶——亚特兰大——纽约的总票价为$140
• 如果使用三元组（tag，起点，终点）表示问题状态，其中tag为0表示转飞，tag为1表示其他情形，那么在到达亚特兰大后，问题状态变为（0，亚特兰大，纽约），它的最优路径是以芝加哥为中转机场

五、动态规划递归方程

• 当最优抉择包含最优子序列时，可建立动态规划递归方程，它可以帮助我们高效地解决问题

0/1背包问题案例

• 在文章上面提到的背包问题中，最优选择序列由最优选择子序列构成
• 假设f(i,y)表示剩余容量为y，剩余物品为i，i+1，...，n的背包问题的最优解的值，即：

• 无论第一次的选择是什么，接下来的选择一定是当前状态下的最右选择，我们称此为“最优原则”。它意味着一个最优选择序列是由最优选择子序列构成的。但是，最优原则可能对某些问题的求解并不适用，这时就不能应用动态规划
• 应用动态规划求解的步骤如下：
  • 1）证实最优原则是适用的
  • 2）建立动态规划的递归方程式
  • 3）求解动态规划的递归方程式以获得最优解
  • 4）沿着最优解的生成过程进行回溯
• 编写一个简单的递归方程来求解动态规划方程是一件很诱人的事。然而，我们将在后面的动态规划应用文章中看到，如果不能避免重复计算，递归方程的复杂度将非常可观。如果避免了重复计算，复杂度将急剧下降。动态规划递归方程也可用迭代方法来求解，这时就自然避免了重复计算。其实，迭代程序与避免了重复计算的递归程序有相同的复杂度，但是迭代程序不需要附加的递归栈空间，因此将比后者运行更快