AcWing 361. 观光奶牛(01分数规划)(判正环)

题干：

给定一张L个点、P条边的有向图，每个点都有一个权值f[i]，每条边都有一个权值t[i]。
求图中的一个环，使“环上各点的权值之和”除以“环上各边的权值之和”最大。
输出这个最大值。
注意：数据保证至少存在一个环。
输入格式
第一行包含两个整数L和P。
接下来L行每行一个整数，表示f[i]。
再接下来P行，每行三个整数a，b，t[i]，表示点a和b之间存在一条边，边的权值为t[i]。
输出格式
输出一个数表示结果，保留两位小数。
数据范围
2≤L≤1000,
2≤P≤5000,
1≤f[i],t[i]≤1000

输入样例：
5 7
30
10
10
5
10
1 2 3
2 3 2
3 4 5
3 5 2
4 5 5
5 1 3
5 2 2
输出样例：
6.00

思路：

根据题意，我们要求的首先是一个正环，然后需要让这个环上的点权和除以边权和最大。${\sum }_{}{f}_i/{\sum }_{}{e}_i$，fi表示点权，ei表示边权。
既然是有向图而已要有环，我们可以把边权放在出点上，这样一个点即表示了边权也表示了点权，会简单一些。。。

这就是一个比较标准的01分数规划模型即$\frac{{\sum }_{i=1}^n{f}_i\ast x_i}{{\sum }_{i=1}^n{e}_i\ast x_i}$其中xi=0或xi=1。
我们设一组{$x_1,x_2...x_n$}满足${\sum }_{i=1}^n(f_i-mid\ast e_i)>=0$
①若存在,则：$\frac{{\sum }_{i=1}^n{f}_i\ast x_i}{{\sum }_{i=1}^n{e}_i\ast x_i}>=mid$
即mid比要求的最大值小
②若不存在，则：$\frac{{\sum }_{i=1}^n{f}_i\ast x_i}{{\sum }_{i=1}^n{e}_i\ast x_i}<mid$
即mid比要求的最大值大
这就形成了一个二分判断，即01分数规划问题可以用二分来做。

然后问题就转换成了找到一个正环，二分查找${\sum }_{}{f}_i/{\sum }_{}{e}_i？mid$。
然后思考二分的左右边界，因为是有向图，所以左边界是${\sum }_{i=1}^{1000}1/{\sum }_{i=1}^{5000}1000\approx 0$，右边界是${\sum }_{i=1}^{1000}1000/{\sum }_{i=1}^{1000}1=1000$
然后注意下因为要输出分数，所以mid和dis[]要用double。

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
const int N=1010,M=5010;
int n,m;
int f[N],q[N],cnt[N];
double dis[N];
int idx,h[N],ne[M],e[M],wt[M];
bool vis[N];
void add(int a,int b,int c){
    e[idx]=b;
    wt[idx]=c;
    ne[idx]=h[a];
    h[a]=idx++;
}
bool check(double mid){
    memset(dis,0,sizeof(dis));
    memset(cnt,0,sizeof(cnt));
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    int hh=0,tt=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        q[tt++]=i;
        vis[i]=true;
    }
    while(tt!=hh){
        int t=q[hh++];
        if(hh==N)   hh=0;
        vis[t]=false;
        for(int i=h[t];~i;i=ne[i]){
            int j=e[i];
            if(dis[j]<dis[t]+f[t]-mid*wt[i]){
                dis[j]=dis[t]+f[t]-mid*wt[i];
                cnt[j]=cnt[t]+1;
                if(cnt[j]>=n) return true;
                if(!vis[j]){
                    q[tt++]=j;
                    if(tt==N) tt=0;
                    vis[j]=true;
                }
            }
        }
    }
    return false;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&f[i]);
    memset(h,-1,sizeof(h));
    while(m--){
        int a,b,c;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        add(a,b,c);
    }
    double l=0,r=1e6;
    while(r-l>1e-5){
        double mid=(r+l)/2;
        if(check(mid)) l=mid;
        else    r=mid;
    }
    printf("%.2lf\n",l);
    return 0;
}