BFS及其变形

【广度优先搜索】

借助一个队列来实现广度优先搜索，起初，队列中仅包含起始状态。在广度优先搜索的过程中，我们不断从队头取出状态，对于该状态面临的所有分支，把沿着每条分支到达的下一个状态（如果尚未访问过或者能够被更新成更优的解）插入队尾。重复执行上述过程直到队列为空。

对应的队列的情况：

1.Flood Fill

Flood Fill 算法是计算机图形学和数字图像处理的一个填充算法。就好像在起点倒水，看能覆盖多大的一片区域。其实就是从一点开始向四面周围寻找点填充遍历，原理和BFS很相似，当然也可以像DFS一样的遍历。

2.最少步数

典型的如“走地图”类问题，也就是形如“给定一个矩形地图，控制一个物体在地图中按要求移动，求最少步数”的问题。

广度优先搜索很擅长解决这种问题。地图的整体形态是固定不变的，只有少数个体或特征随着每一步操作发生改变。我们只需要把这些变化的部分提取为状态，把起始状态加入队列，使用广度优先搜索不断取出队头状态，沿着分支扩展、入队即可。

广度优先搜索是逐层遍历搜索树的算法，所有状态按照入队的先后顺序具有层次单调性（也就是步数单调性）。如果每一次扩展恰好对应一步，那么当一个状态第一次被访问（入队）时，就得到了从起始状态到达该状态的最少步数。

3.状态图搜索

BFS搜索处理的对象不仅可以是一个数，还可以是一种状态图。

典型的如八数码问题，此时就要考虑：

1. 状态怎么表示（存储）？
2. 状态怎么判重？
3. 状态之间怎么转移？

【广搜变形】

1.双端队列BFS

如上分析，在最基本的广度优先搜索中，每次沿着分支的扩展都记为“一步”，我们通过逐层搜索，解决了求从起始状态到每个状态的最少步数的问题。这其实等价于在一张边权均为 1 的图上执行广度优先遍历，求出每个点相对于起点的最短距离（层次）。队列中的状态的层数满足两段性和单调性，从而我们可以知道，每个状态在第一次被访问并入队时，计算出的步数即为所求。

然而，如果图上的边权不全是 1 呢？

我们不妨先来讨论图上的边权要么是 1、要么是 0 的情况。

在边权要么是 0、要么是 1 的无向图上，我们可以通过双端队列广搜来计算。算法的整体框架与一般的广搜类似，只是在每个节点上沿分支扩展时稍作改变。如果这条分支是边权为0 的边，就把沿该分支到达的新节点从队头入队；如果这条分支是边权为 1 的边，就像一般的广搜一样从队尾入队。这样一来，我们就仍然能保证，任意时刻广搜队列中的节点对应的距离值都具有“两段性”和“单调性”，每个节点第一次被访问（入队）时，就能得到从左上角到该节点的最短距离。

2.优先队列BFS

对于更加具有普适性的情况，也就是每次扩展都有各自不同的代价时，求出起始状态到每个状态的最小代价，就相当于在一张带权图上求出从起点到每个节点的最短路。此时，我们有两个解决方案：

方法一：仍然使用一般的广搜，采用一般的队列。

  这时我们不再能保证每个状态第一次入队时就能得到最小代价，所以只能允许一个状态被多次更新、多次进出队列。我们不断执行搜索，直到队列为空。

  整个广搜算法对搜索树进行了重复遍历与更新，直至“收敛”到最优解，其实也就是“迭代”的思想。最坏情况下，该算法的时间复杂度会从一般广搜的 $O(N)$ 增长到 $O(N^2)$。对应在最短路问题中，就是SPFA算法。

方法二：改用优先队列进行广搜。

  这里的“优先队列”就相当于一个二叉堆。我们可以每次从队列中取出当前代价最小的状态进行扩展（该状态一定已经是最优的，因为队列中其他状态的当前代价都不小于它，所以以后就不可能再更新它了），沿着各条分支把到达的新状态加入优先队列。不断执行搜索，直到队列为空。

  在优先队列BFS中，每个状态也会被多次更新、多次进出队列，一个状态也可能以不同的代价在队列中同时存在。不过，当每个状态第一次从队列中被取出时，就得到了从起始状态到该状态的最小代价。之后若再被取出，则可以直接忽略，不进行扩展。所以，优先队列BFS中每个状态只扩展一次，时间复杂度只多了维护二叉堆的代价。若一般广搜复杂度为 $O(N)$， 则优先队列BFS的复杂度为 $O(NlogN)$。对应在最短路问题中，就是堆优化的Djjkstra算法。

3.双向BFS

因为BFS本身就是逐层搜索的算法，所以双向BFS的实现更加自然、简便。

以普通的求最少步数的双向BFS为例，我们只需从起始状态、目标状态分别开始，两边轮流进行，每次各扩展一整层。当两边各自有
一个状态在记录数组中发生重复时，就说明这两个搜索过程相遇了，可以合并得出起点到终点的最少步数。

【例题】

• AcWing 844. 走迷宫（入门）：点击这里

• AcWing 1097. 池塘计数（Flood Fill）：点击这里

• AcWing 1098. 城堡问题（Flood Fill）：点击这里

• AcWing 1106. 山峰和山谷（Flood Fill）：点击这里

• AcWing 173. 矩阵距离（多源BFS）：点击这里

• AcWing 1076. 迷宫问题（最少步数、输出路径）：点击这里

• AcWing 188. 武士风度的牛（最少步数）：点击这里

• POJ 3278 Catch That Cow（最少步数）：点击这里

• AcWing 845. 八数码（状态图搜索、BFS）：点击这里

• AcWing 1107. 魔板（状态图搜索、输出字典序最小路径）：点击这里

• AcWing 175. 电路维修（双端队列BFS）：点击这里