SMPL-小结

• 从这张图出发：
  (a )中的是由平均顶点集以及权重所描述的人体模型。
  (b )中平均顶点集在体态的影响下发生了位移，同时体态对关节也产生了影响。
  (c )平均顶点集在体态与动作的两重影响下发生的位移，注意此时的图并未有任何的pose，但是其实作者想表达的是经过两重影响的Tpose,也就是休息状态下的人体模型图。
  (d )
  这个式子就是smpl的模型的雏形了
  总共四项，分别为经过体型与姿势影响的顶点集、经过体型影响的关节，以及姿势和权重。

• 逻辑推导过程
  初始构想：
  
  这个就是作者初始的构想：
  第一项是体型
  第二项是姿势
  第三项是该模型需要进行学习训练的内在参数，即以下的五个参数，也是后期模型需要进行训练的参数：
  
  第一个参数是形状位移的标准正交主成分
  第二个参数是由姿势引起位移的正交主成分
  第三个参数是权重，即第几个顶点受哪些关节的影响且权重分别为多少
  第四个参数是个矩阵，可以完成顶点到关节的转化
  第五个参数是模型初始的平均形状
  进一步细化：
  
  首先分析第一项
  式-1
  代表在基础的平均模型上加上体型与姿势带来的位移的影响后的模型形状

  又因为下面的两个式子
  式-2
  上式代表将体型带来的形状位移正交分解，进行计算。
  式-3
  此式与上面的式子相似，不过要去除休息状态的姿势的影响。
  带入到式-1
  得到其的具体展开式子：
  
  同样可以对J进行进一步扩展如下：
  式-4
  综上所述得到最终的模型：
  
  对于每一个顶点的推导分析：
  
  这是初始的公式，即每个顶点在不同的关节以不同的权重进行旋转和平移后得到最终结果
  进行进一步的细化，初始顶点不能直接用平均形状下的顶点，还要考虑到体型与姿势的影响，同样关节也会因为体型而发生改变。于是得到以下扩展：
  
  又因为知道式-2-3-4的存在，所以可以进一步细化：

  
  其中
  
  于是就得到了作者的最终结论。

• 一些问题的解答：
  
  Q式中关节只受体态的影响，难道不受姿势的影响？
  A 原文为：where J is a matrix that transforms rest vertices into rest joints.
  We learn the regression matrix, J, from examples of different peo-
  ple in many poses, as part of our overall model learning in Sec. 4.
  This matrix models which mesh vertices are important and how to
  combine them to estimate the joint locations.
  说明求的是休息状态下的关节，与姿势无关。

  
  Q 该如何理解这个式子？
  A A(k）代表的是关节的祖先关节，意思是关节旋转变化不是独立的，是依靠在上一个的关节的基础上，整个过程是一个链式的变化过程。即一个关节在另一个关节（祖先关节）上继续进行旋转变化，所以整个链式的反应过程中，还会有平移的过程，所以复合矩阵中右上角是一个达到平移的效果。

  
  Q 在训练时，为什么这么复杂？
  A 加其他项很多都是为了避免过拟合。