【信号与系统】Multisim 仿真连续时间系统的时域分析

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Multisim 14 仿真

一. 实验目的

1. 观测连续时间系统的时域分析。
2. 研究二阶串联电路的阶跃响应。
3. 观测更改参数对于连续系统的阶跃响应的影响。
4. 观测系统的状态轨迹的显示。
   
   

二. 实验原理

1. 状态轨迹简介

1、 任何变化的物理过程在第一时刻所处的 “状态”（状况、形态或姿态），都可以用若干被称为“状态变量”的物理量来描述。电路也不例外，若一个含储能元件的网络在不同时刻各支路电压、电流都在变化，那么电路在不同时刻所处的状态也不相同。

2、 对 n 阶网络可以用n个状态变量来描述。可以设想一个 n 维空间，每一维表示一个状态变量，构成一个“状态空间”。网络在每一时刻所处的状态可以用状态空间中一个点来表达，随着时间的变化，点的移动形成一个轨迹，称为“状态轨迹”。二阶网络的状态空间就是一个平面，状态轨迹是平面上的一条曲线。一个 n 阶系统，只能有 n 个状态变量，不能多也不可少，且 n 个状态变量间线性无关的。

3、 为便于用双踪示波器直接观察到网络的状态轨迹，本实验仅研究 RLC 串联电路构成的二阶网络，它的状态轨迹可在二维状态平面上表示。

2. R，L，C的电压电流关系

$$\to \{\begin{array}{l}{i}_R=\frac{u_R}{R}\\ \\ u_R=i_R\cdot R\end{array}$$

$$\to \{\begin{array}{l}{u}_L(t)=L\frac{d{i}_L(t)}{dt}\\ \\ i_L(t)=\frac{1}{L}{\int }_{-\infty }^t{u}_L(\tau )d\tau \end{array}$$

$$\to \{\begin{array}{l}{i}_C(t)=C\frac{d{u}_C(t)}{dt}\\ \\ u_C(t)={\int }_{-\infty }^t{i}_C(\tau )d\tau \end{array}$$

^{▲ RLC串联电路}

插播一条反爬虫信息，读者可以忽略：

3. 求解状态方程

如图所示的RLC串联电路，选取 $i_L$ 和 $u_C$ 为中间状态， $u_C$ 为输出， $u_i$ 为输入。根据电压关系，
$$i_{L}R+L\frac{d{i}_L}{dt}+u_c=u_i\text{\hspace{1em}(1)}$$

求得相应的微分方程(状态方程)为：

$$\to \{\begin{array}{l}{u}_c^{\prime }=\frac{1}{C}{i}_L\\ \\ i_L^{\prime }=-\frac{1}{L}{u}_c-\frac{R}{L}{i}_L+\frac{1}{L}{u}_i\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$

由(2) 式不难看出，当已知电路的激励电压ui和初始条件 $i_L(t_0)$、$u_c(t_0)$，就可以唯一地确定 $t\ge t_0$ 时，该电路的电流和电容两端的电压 $u_c$。
将$$i_C(t)=C\frac{d{u}_C(t)}{dt}$$ 带入(1)式，相应的输入输出之间的关系：
$$LC\frac{d^2{u}_c}{d{t}^2}+RC\frac{d{u}_c}{dt}+u_c=u_i\text{\hspace{1em}(3)}$$

根据(3)式整理得：
$$\frac{d^2{u}_c}{d{t}^2}+\frac{R}{L}\frac{d{u}_c}{dt}+\frac{1}{LC}{u}_c=\frac{1}{LC}{u}_i\text{\hspace{1em}(4)}$$

二阶网络标准化形成的微分方程为
$$\frac{d^2{u}_c}{d{t}^2}+2\xi {\omega }_n\frac{d{u}_c}{dt}+{\omega }_n^2{u}_c={\omega }_n^2{u}_i\text{\hspace{1em}(5)}$$

其中 $\xi$ 称为阻尼比， $\omega$ 称为无阻尼自振角频率。
比较（4）式和（5）式，得
$$\begin{gathered} {\omega }_n=\frac{1}{\sqrt{LC}} \\ \xi =\frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}}\text{\hspace{1em}(6)} \end{gathered}$$
由（6）式可知，改变 $R、L和C$ ，使电路分别处于 $\xi ＝0、0＜\xi ＜1和\xi ＞1$ 三种状态。根据（3）式，可直接解得 $u_C(t)$ 和 $i_L(t)$ 。如果以 $t$ 为参变量，求出 $i_L=f(u_C)$ 的关系，并把这个关系，画在 $u_C-i_L(t)$ 平面上。显然，后者同样能描述电路的运动情况。

4. 不同阻尼下的状态轨迹

^{▲ RLC电路在过阻尼时的状态轨迹}

^{▲ RLC电路在欠阻尼时的状态轨迹}

^{▲ RLC电路在R=0时的状态轨迹}

• 李沙育图是电压电流瞬时相互关系的图形表示，即状态轨迹。如果电压电流同是正弦，图是椭圆，长轴和水平轴之间的夹角就是电压电流差角。
  
  

5. 实验原理图

• 实验原理线路如图所示，$R=R1+R2=R1+33\Omega$，改变 $R1$ 也就改变了 $R$ 的值， $\xi$ 值也会改变，从而使电路处于过阻尼、欠阻尼和临界阻尼的状态。为了便于测量，$R2$ 两端的电压和 $i_L$ 成正比，只要将 $U_{R_2}$ 和 $U_C$ 加到示波器的两个输入端，其李萨如图形即为该电路的状态轨迹。但示波器的两个输入必须有一个共地端，而 $U_{R_2}$ 和 $U_C$ 没有共地端，因此必须将 （A点和B点）通过如图 的减法器（取 $R1=Rf$ ），将双端输入的 $U_C$ 变为与 $U_R$ 一个公共端的单端输出。这样，电容两端的电压 $U_R$ 和 $U_C$ 有一个公共接地端，从而能正确地观察该电路的状态轨迹。

• 在本实验中，观察状态轨迹采用简易方法，由于 $R2$ 阻值很小，在B点电压仍表现为容性，因此电容电压可看成A和GND之间的电压。实验箱一般都是采用这种近似方法。

^{▲ Multisim 图}

^{▲ 减法器电路}

三. 仿真结果

^{▲ Ui 和 iL波形}

^{▲ 状态轨迹}

四. 总结

• 临界阻尼的计算
• 输入信号的选择：幅度 $4V$、频率 $f=1KHz$ 、占空比50%的方波
• 显示李萨如图形：示波器工作模式选择 A/B

  本次的分享就到这里

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