最近几天尝试着不用框架写一个卷积神经网络,后来代码写完之后发现运行的速度实在是太慢,分析了一下发现主要的时间都花在了卷积层上。于是查找各种资料,学习了两种现在主流的快速卷积算法,写此文主要记录一下其中的要点,在学习过程中遇到的问题。
如果学过或者了解过信号的,你肯定肯定,空间域中矩阵的卷积运算,实际上等价于频率域中两个矩阵对应元素相乘,关于怎么进行快速傅里叶变换
,我之前的文章已经讲述过了,对这块不太了解的,可以点击这里。
不过问题主要是,通常情况下,我们的feature的尺寸要比卷积核的尺寸大得多,如果直接对两者进行快速傅里叶变换的话,那么得出来的两个矩阵大小不一样,不能进行对应位置相乘。
因为为了可以让他们对应位置进行相乘,我们就必须要对卷积核进行扩充,将其扩充到与feature尺寸大小相同。然而也正是这个扩充
过程,限制了这种方法的使用。所以只有在卷积核和feature尺寸大小差不多的时候,我们才会使用这种方法。
下面来说明下,怎么进行扩充,以及需要注意的地方
通常情况有三种卷积方式full
、same
、valid
,
下面三幅图就描述的很清楚(图片来源)
full卷积方式如下图,这种卷积方式会先对图像的四周进行补零,补零的行数(列)为卷积核宽度(长度)-1,最终卷积出来的结果一定会比原图像大的
same卷积方式如下图所示,这种方式卷积结果大小一定会与原图像大小一样,通常补零的个数为
向下取整(卷积核大小/2)。
valid卷积方式如下图所示,如果用这种方式进行卷积我们不会对原图像进行补零操作,所以会导致原图像变小
现在我们来分析一下,如果使用FFT来进行快速卷积,该怎么补零
假设,我们的输入的图像和卷积核分别如下图所示。
如果采用full方式进行卷积,则补零应该如下
(上为输入,下为卷积核)
这是因为,在用full
方式进行卷积的时候,原图8x7大小,会变成10x9的大小,所以我们要把原图填充成上述样子。同理,我们需要把卷积核进行填充至10x9的大小
如果采用same方式或则采用valid方式进行卷积,上面的补零方式就不管用,我这边也没有发现为啥不管用,后续我会在研究研究。
你以为补完零就结束了吗?不,还没有!
在图像处理领域和深度学习领域中定义的卷积运算
和信号和数学领域中定义的卷积运算
是不同的,是由一些差异的,具体的数学可以看《深度学习》中P283页。这里我只讲述一下这两则的差异。
在数学领域中,对于二维的卷积,如下图[图片来源]
也就是说,我们需要先对其进行一次水平翻转和垂直翻转,然后在进行计算机领域所谓的卷积运算。
所以对feature和核填充零之后,还需对核进行一次水平翻转核垂直翻转
代码实现
def fftConvt(img,ker):
# 第一步,对img进行填充
img_padding=np.zeros(shape=[len(img)+len(ker)-1,len(img)+len(ker)-1])
img_padding[len(ker)-1:len(ker)-1+len(img),len(ker[0])-1:len(ker[0])-1+len(img[0])]=img
ker=np.flip(ker,axis=0)
ker = np.flip(ker, axis=1)
# 第二步,对卷积核进行填充
ker_padding=np.zeros(shape=img_padding.shape)
ker_padding[:len(ker),:len(ker[0])]=ker
img_padding_fft2=np.fft.fft2(img_padding)
ker_padding_fft2=np.fft.fft2(ker_padding)
img_fft2=img_padding_fft2*ker_padding_fft2
return np.real(np.fft.ifft2(img_fft2))
这个算法原理挺简单的,就是将卷积运算,转换为矩阵乘法运算。因为现在线性代数领域已经有非常成熟的计算矩阵乘法,几乎可以做到极限优化。
整个算法流程大概如下
参考:High Performance Convolutional Neural Networks for Document Processing
我第一次看上面这个图,看的我一脸懵逼,现在来逐一分析一下。上述流程图中,输入的数据是一个三通道的features,如下
我们有2个卷积核,每个卷积核有三个子核,如下
那么怎么样把卷积运算给转换成矩阵乘法呢?
想象一下,在进行传统卷积的时,我们会移动滑块,然后对滑块进行加权求和。现在我们要做的是,将每个滑块形成的子矩阵给拉直,假设我们拿出features中的第一个通道的数据,如下
在拿出第一个卷积核中的第一个子矩阵
现在我们移动滑动窗口,逐一的把滑动窗口选中的部分给拉直,如下图所示
然后就形成了四个向量,现在我们要做的就是把这四个向量给堆叠起来,形成一个新的矩阵,如下
完成上述步骤之后,在把卷积核给拉直,如下
现在,我们就可以用之前形成的矩阵和这个列向量进行矩阵乘法运算
做乘法之后,会得到一个列向量,这个列向量中的每个元素就是每个窗中加权平均值,即卷积值,因为4x4矩阵 做 2x2的卷积,输出是2x2,所以我们在将这个列向量reshape一下,即可得到最终结果
上述过程只是单通道情况下,所以对于多通道,我们就可以把三个通道生成的矩阵给堆叠在一起,如下图
每个卷积核的子矩阵给拉直,然后再堆叠到一起,如下图
最后计算两者的乘积,即可得到最终的卷积结果。
代码实现
def img2col(img,ker):
ker_width=len(ker[0])
ker_height=len(ker)
transform=np.empty(shape=((len(img[0]) - ker_width)*(len(img) - ker_height), ker_width*ker_height))
cur=0
for y in range(0,len(img)-ker_height):
for x in range(0, len(img[0]) - ker_width):
data=img[y:y+ker_height,x:x+ker_width].reshape(1,9)
transform[cur,:]=data
cur=cur+1
return np.dot(transform,ker.reshape(-1,1)).reshape(len(img)-ker_height,-1)
Winograd算法出自CVPR 2016的一篇 paper:Fast Algorithms for Convolutional Neural Networks。,这个算法可以用来加速卷积运算,目前有很多框架如NCNN、NNPACK等,对于卷积层都采用了Winograd快速卷积算法。
对于这个算法的讲解,网上还是不少资料可以查到的,在这里我推荐几篇
1.Fast Algorithms for Convolutional Neural Networks 直接啃原论文
2 卷积神经网络中的Winograd快速卷积算法
在这里,我只想记录一下,学习这个算法的过程中遇到的问题
答:完全不需要,虽然说,F(2,3)只能用来计算输入长度为4,卷积核为3的情况,但是如果我们如果有n个数据,我们完全可以将这n个数据划分成若干组,每组长度为4,然后分别对每组进行卷积运算,最后将所有组得出的结果,堆叠在一起即可,这里的组
,也就是tile
g
是什么?d又是什么?答:这里的g
就是kernel,不需要做任何改变不需要做任何调整。这里的d
就是tile
。
代码实现如下:
def Winograd(img,ker):
U = G.dot(ker).dot(G.T)
res=np.empty(shape=[98,98])
for y in range(0,len(img)-8,6):
for x in range(0, len(img[0])-8,6):
tile=img[y:y+8,x:x+8]
V=BT.dot(tile.T).dot(BT.T)
res[y:y+6,x:x+6]=AT.dot(U*V).dot(AT.T).T
return res
不过,好像运行的并不是很快。。。。。。。希望有大佬能够指点
关于转换矩阵的推导,需要用到数论,整个过程十分复杂,如果想了解的,可以看此文章,文章篇目十分长,我看了一整天才勉勉强强弄明白
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