【数字图像处理】图像的数学变换之傅里叶变换

傅里叶变换是分析线性系统的一个有力工具。  从数学意义上说，傅里叶变换将一个任意的周期函数分解成为无穷个正弦函数的和的形式；从物理效果上看，傅里叶变换实现了将信号从空间域到频率域的转换。关于傅里叶变化的讲解，很多大神都写得非常详尽了，通过下面几篇博文，可以让大家对傅里叶变换何相关知识有一个全面的了解，在这里我主要是想从图像处理中的角度谈一谈自己非常浅显的理解。

• 韩昊-傅里叶分析之掐死教程（完整版）更新于2014.06.06
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下面进入正题。

首先，我们来说一下一维傅里叶变换。

在甩公式之前，我们先搞懂这个功能是“做什么”的。我们看下面左边的信号图，可以看到得到的信号是杂乱无章的，通过傅里叶变换，也就是将这个杂乱的信号由时间域转化到频率域中，我们可以清晰的看到，哦，原来这个杂乱的信号是两个正弦波和一些噪声混合而成的，对于这个信号的理解一下子明朗了起来。

而当我们把有效的信号频率分离出来，或者将噪声信号过滤出去，再通过傅里叶变换的逆变换，我们就可以得到滤波后的结果：

好的，知道“做什么”之后，我们看看“怎么做”。

对于一个连续的时间信号，如果它满足Dirichlet条件，即只有有限个间断点、有限个极值点和绝对可积，则的傅里叶变换存在：

由于是实函数，则它的傅里叶变换一般是复函数，可以表示为：

其中， 和 分别是的实部和虚部。

在计算机上处理的信号都是离散信号，对离散信号进行频谱分析自然要用到离散傅里叶变换。对于一个离散序列，可以理解为，对连续函数  的等间隔采样，假设共采样N次，则  可以表示为，则一维离散傅里叶变换（DFT）与反变换（IDFT）定义为：

一维的傅里叶变换中只含有一个自变量，我们知道，图像可以表示为二维的数表或矩阵，因此，在图像处理技术中，我们需要用到二维离散傅里叶变换了。假设，我们用表示由N行M列的像素点组成的图像中某一个像素点的灰度值，表示对应的频谱，则的二维离散傅里叶变换和其反变换可以表示为：

从上式中可以看出，二维信号经过傅里叶变换得到了二维离散傅里叶变换频谱图。它是一个和原图像大小相当的二维矩阵，这个二维矩阵点的每一个位置 都有其对应的值 。但是需要注意的是：二维傅立叶变换后生成的图像与原图上的像素点不存在一一对应关系。原图中的像素值是x,y坐标轴下的（即空间域），而傅立叶变换后的像素值是u,v坐标轴下的（即频域）。

正如刚才所说，一维傅里叶变化是将信号分解为正弦波的和的形式，相似地，二维傅里叶变换可以将一个二维信号（图像）分解为三角平面波之和的形式，如下图：

 那一维的情况下，我们得到的频谱图的横坐标是频率，纵坐标是振幅，二维情况下，我们得到的频谱图中的坐标表示的是什么呢？为了便于理解，可以看一下下面这个图，可能不是很准确，但是基本上可以表达意思了，就是每一个坐标其实都是表示着一种特定的三角波。这些正弦平面波叠加就能组成不一样的新的平面波。

二维信号的离散傅里叶变换所得到的结果的频率成分的分布示意图如下图所示：

通常情况下，我们会对频谱图进行平移，因此大部分谱图的中心部分（uv坐标系中点(0,0)附近）表示原图像中的低频部分。上述内容也可以通过下面这张图加深理解：

有一位博主po出了许多常见图形的傅里叶变换频谱图，也可以帮助我们加深理解（点此查看）。

通过二维离散傅里叶变换，我们可以将空间域（二维灰度数表）的图像转换到频域（频率数表），使得我们可以更直观地观察和处理图像，也更有利于进行频域滤波等操作。

二维离散傅里叶变化建立了函数在空间域和频率域之间的转化关系，是数字图像处理中的强大工具。二维离散傅里叶变化也具有许多有趣的性质，如可分离性、平移性、周期性、共轭对称性、旋转不变性、分配性和比例性等。有博主已经讲得非常详尽了（点此查看），所以在这里就不多说了。

 

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参考：

• 二维傅里叶变换是怎么进行的？
• 图像的二维傅里叶变换频谱图特点研究
• 二维图像的傅立叶变换
•  傅里叶变换(二维离散傅里叶变换)
• 如何理解图像傅里叶变换的频谱图