概率论与数理统计 | (8) 协方差和相关系数

目录

1. 方差的性质

2. 协方差与相关系数

3. 不相关与独立

4. 矩、协方差矩阵、多元正态分布的性质

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1. 方差的性质

• 性质

1）c是常数，D(c) = 0

2)  设X是随机变量，c是常数，则有  ()

3) 设X，Y是两个随机变量，则

特别地，若X，Y相互独立，则有

综合上述三项, 设X,Y相互独立, a,b,c是常数,则：  ()

推广到任意有限个独立随机变量线性组合的情况：

                                         

4) 

• 证明

• 例题

 

2. 协方差与相关系数

设X, Y是两个随机变量, 则有：

特别地，若X，Y相互独立，则有。即当X与Y相互独立时，有；当X与Y不相互独立时，.(X,Y的协方差)

• 定义

数值称为随机变量X和Y的协方差，记作Cov(X,Y)，即：

此时D(X+Y) = D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y).

协方差Cov( X ,Y )反映了随机变量X与Y的线性相关性:

1)当Cov( X ,Y )>0时，X与Y正相关。

2)当Cov( X ,Y )<0时，X与Y负相关。

1)当Cov( X ,Y )=0时，X与Y不相关。

• 例题

• 性质

1）Cov(X,Y) = Cov(Y,X)

2)  Cov(X,X) = D(X)

3)  Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y)       a,b是两个实数

4）

• 相关系数

协方差是有量纲的数字特征，为了消除其量纲的影响，引入一个新概念：

                                   

称为随机变量X与Y的相关系数，是没有量纲的。

性质：

 

3. 不相关与独立

• 定义

若，则称随机变量X与Y不相关或0相关，

随机变量X，Y不相关或0相关的等价条件有：

1）

2)      

• 性质

若X与Y相互独立，则X与Y不相关；反之不然。

证明：

4. 矩、协方差矩阵、多元正态分布的性质

• 矩

• 多元随机变量的数字特征

• n元正态随机变量的联合概率密度的矩阵表示

• n元正态随机变量的四条性质

• 例题