最小生成树之MST性质

在数据结构上看到这个性质的时候并不是很理解，觉得很抽象，所以我决定记录一下，以免以后又不理解了。

其实就是一个 最优选择问题。

原性质描述如下：

假设N = （V，{ E }）是一个连通网，U 是顶点集V的一个非空子集。若（u , v ）是一条具有最小权值（代价）的边，其中u∈U， v∈V - U，则必存在一棵包含边（u，v）的最小生成树。

就先不画图了，现在把V分成U和V - U两个集合，想一下，现在已经有一棵生成树T了，所以在U和V - U之间一定有一条边连着，所以这种情况下V - U中的所有点一定是互相连通的，（u，v）这条边权最小，但是此刻并没有连着。那么就是V - U中的另一条边连接着这两个点集。那么假如把这条边换成（u ，v）了，一定比T的总权和小啊。就是酱紫。

这么说可能还有点不理解，结合一下反证法就知道了。

假设网N的任何一棵最小生成树都不包含（u，v）。设T是连通网上的一棵最小生成树，当将边（u，v）加入到T中时，由生成树的定义，T中必存在一条包含（u，v)的回路。另一方面，由于T是生成树，则在T上必存在另一条边（u’，v’），其中u’∈U，v’∈V - U，且u和u’之间，v和v’之间均有路径相通。删去边（u’，v’），便可消除上述回路，同时得到另一棵生成树T’。因为（u，v）的代价不高于（u’，v’），则T’的代价亦不高于T，T’是包含（u，v）的一棵最小生成树，和假设矛盾。