线性表-定义和顺序存储结构

3.1 开场白

各位同学，大家好。

今天我们要开始学习数据结构中最常用和最简单的一种结构，在介绍它之前先讲个例子。

我经常下午去幼儿园接送儿子，每次都能在门口看到老师带着小朋友们， 一个拉着另一个的衣服，依次从教室出来 。而且我发现很有规律的是，每次他们的次序都是一样。比如我儿子排在第 5 个，每次他都是在第 5 个，前面同样是那个小女孩，后面一直是那个小男孩。这点让我很奇怪，为什么一定要这样?

有一天我就问老师原因。她告诉我，为了保障小朋友的安全，避免漏掉小朋友，所以给他们安排了出门的次序，率先规定好了，谁在谁的前面，谁在谁的后面。这样养成习惯后，如果有谁没有到位，他前面和后面的小朋友就会主动报告老师 ，某人不在 。 即使以后如果要外出到公园或博物馆等情况下，老师也可以很快地清点人数，万一有人走丢，也能在最快时间知道，及时去寻找。

我一想，还真是这样。小朋友们始终按照次序排队做事，出意外的情况就可能会少很多 。毕竟，遵守秩序是文明的标志，应该从娃娃抓起。而且，真要有人丢失，小孩子反而是最认真负责的监督员 。

再看看门外的这帮家长们，都挤在大门口，哪个分得清他们谁是谁呀。与小孩子们的井然有序形成了鲜明的对比。哎，有时大人的所作所为，其实还不如孩子。

这种排好队的组织方式，其实就是今天我们要介绍的数据结构:线性表。

3.2 线性表的定义

线性表，从名字上你就能感觉到，是具有像线一样的性质的表。在广场上，有很多人分散在各处，当中有些是小朋友，可也有很多大人，甚至还有不少宠物，这些小朋友的数据对于整个广场人群来说，不能算是线性表的结构。但像刚才提到的那样，一个班级的小朋友，一个跟着一个排着队，有一个打头，有一个收尾，当中的小朋友每一个都知道他前面一个是谁，他后面一个是谁，这样如同有一根线把他们串联起来了。就可以称之为线性表 。

线性表(List):零个或多个数据元素的有限序列。

这里需要强调几个关键的地方 。

首先它是一个序列 。 也就是说，元素之间是有顺序的，若元素存在多个，则第一个元素无前驱，最后一个元素无后继，其它每个元素都有且只有一个前驱和后继 。 如果一个小朋友去拉两个小朋友后面的衣服，那就不可以排成一队了;同样，如果一个小朋友后面的衣服，被两个甚至多个小朋友拉址，这其实是在打架，而不是有序排队。

然后，线性表强调是有限的，小朋友班级人数是有限的，元素个数当然也是有限的。事实上，在计算机中处理的对象都是有限的，那种无限的数列，只存在于数学的概念申。

如果用数学语言来进行定义。可如下 :

若将线性表记为 (a1 ，…， ai-1 , ai, ai+1,…, an) ，则表中 ai-1 领先于ai， ai领先于ai+1,称 ai-1是ai的直接前驱元素， ai+1是ai的直接后继元素。当i=1，2,…,n-1时，ai有且仅有一个直接后继，当 i=2，3 ,… , n 时， ai有且仅有一个直接前驱。如图 3-2-1 所示。

所以线性表元素的个数n(n>=0) 定义为线性表的长度，当n=0时，称为空表。

在非空表中的每个数据元素都有一个确定的位置，如 al 是第一个数据元素， an 是最后一个数据元素，ai是第 i 个数据元素，称i为数据元素 ai在线性表中的位序。

我现在说一些数据集，大家来判断一下是否是线性表。

先来一个大家最感兴趣的， 一年里的星座列表 ，是不是线性表呢?如图 3-2-2 所示。

ps:我大天蝎怎么没了！？(补上)

当然是，星座通常都是用白羊座打头，双鱼座收尾，当中的星座都有前驱和后继，而且一共也只有十二个，所以它完全符合线性表的定义。

公司的组织架构，总经理管理几个总监，每个总监管理几个经理，每个经理都有各自的下属和员工。这样的组织架构是不是线性关系呢?

不是，为什么不是呢?哦，因为每一个元素，都有不只一个后继，所以它不是线性表。那种让一个总经理只管一个总监， 一个总监只管一个经理， 一个经理只管一个员工的公司 ， 俗称皮包公司，岗位设置等于就是在忽悠外人。

班级同学之间的友谊关系，是不是线性关系?哈哈，不是，因为每个人都可以和多个同学建立友谊，不满足线性的定义。嗯?有人说爱情关系就是了。胡扯，难道每个人都要有一个爱的人和一个被爱的人，而且他们还都不可以重复爱同一个人这样的情况出现，最终形成一个班级情感人物串联?这怎么可能，也许网络小说里可能出现，但现实中是不可能的 。

班级同学的点名册，是不是线性表?是，这和刚才的友谊关系是完全不同了，因为它是有限序列，也满足类型相同的特点。这个点名册 (如表 3-2-1 所示)中，每一个元素除学生的学号外，还可以有同学的姓名、性别、出生年月什么的，这其实就是我们之前讲的数据项。在较复杂的线性表中，一个数据元素可以由若干个数据项组成。

一群同学排队买演唱会门票，每人限购一张， 此时排队的人群是不是线性表?是，对的。此时来了三个同学要插当中一个同学A的队，说同学A之前拿着的三个书包就是用来占位的，书包也算是在排队。如果你是后面早已来排队的同学，你们愿不愿意?肯定不愿意，书包怎么能算排队的人呢，如果这也算，我浑身上下的衣服裤子都在排队了。于是不让这三个人进来 。

这里用线性表的定义来说，是什么理由?嗯，因为要相同类型的数据，书包根本不算是人，当然排队无效，三个人想不劳而获，自然遭到大家的谴责。看来大家的线性表学得都不错。

3.3 线性表的抽象数据类型

前面我们已经给了线性表的定义，现在我们来分析一下 ， 线性表应该有一些什么样的操作呢?

还是回到刚才幼儿园小朋友的例子，老师为了让小朋友有秩序地出入，所以就考虑给他们排一个队，并且是长期使用的顺序，这个考虑和安排的过程其实就是一个线性表的创建和初始化过程。

一开始没经验，把小朋友排好队后，发现有的高有的矮，队伍很难看，于是就让小朋友解散重新排--这是一个线性表重置为空表的操作。

排好了队，我们随时可以叫出队伍某一位置的小朋友名字及他的具体情况。比如有家长问，队伍里第五个孩子，怎么这么调皮，他叫什么名字呀，老师可以很快告诉这位家长，这就是封清扬的儿子，叫封云卞 。 我在旁就非常扭捏，看来是我给儿子的名字没取好，儿子让班级"风云突变'了。这种可以根据位序得到数据元素也是一种很重要的线性表操作.

还有什么呢，有时我们想知道，某个小朋友，比如麦兜是否是班里的小朋友，老师会告诉我说，不是，麦兜在春田花花幼儿园里，不在我们幼儿园。这种查找某个元素是否存在的操作很常用。

而后有家长问老师，班里现在到底有多少个小朋友呀，这种获得线性表长度的问题也很普遍。

显然，对于一个幼儿园来说，加入一个新的小朋友到队列中，或因某个小朋友生病，需要移除某个位置，都是很正常的情况。对于一个线性表来说，插入数据和删除数据都是必须的操作。

所以，线性表的抽象数据类型定义如下 :

ADT 线性表（List）

Data

线性表的数据对象集合为 {a1，a2， ...... ，an } .每个元素的类型均为 DataType。其中，除了第一个元素外 。每一个元素有且只有一个直接前驱元素，除了最后一个元素an外 ，每一个元素，有且只有一个直接后继元索。数据元素之间的关系是一对一的关系。

Operation

InitList ( *L) : 初始化操作，建立一个空的线性表L。

ListEmpty ( L) : 若线性表为空，返回true . 否则返回 false。

ClearList (*L) : 将线性表清空。

GetElem (L, i , *e ) :将线性表L 中的第 i 个元素的值返回给 e。

LocateElem ( L, e) :在线性表 L 中查找与给定值 e 相等的元素，如果查找成功，返回该元素在表中序号表示成功;否则.返回 0表示失败。

Listlnsert (*L，i , e) : 在线性表 L 中的第 i个位置插入新元素e。

ListDelete (*L，i,*e) : 删除线性L中第i个位置元素，并用e返回其值。

ListLength (L) : 返回线性表 L 的元素个数。

endADT

对于不同的应用，线性表的基本操作是不同的，上述操作是最基本的，对于实际问题中涉及的关于线性表的更复杂操作，完全可以用这些基本操作的组合来实现.

比如，要实现两个线性表集合 A 和 B 的并集操作。即要使得集合 A=A U B 。 说白了，就是把存在集合 B 中但并不存在 A 中的数据元素插入到 A 中即可。

仔细分析一下这个操作，发现我们只要循环集合 B 中的每个元素，判断当前元素是否存在A中，若不存在，则插入到 A 中即可。 思路应该是很容易想到的 。

我们假设La表示集合 A ，Lb表示集合B，则实现的代码如下:

这里，我们对于union 操作，用到了前面线性表基本操作 ListLength、GetElem、LocateElem、Listlnsert 等，可见，对于复杂的个性化的操作，其实就是把基本操作组合起来实现的。

Java代码实现：

static void union(List a,List b){
		System.out.println("合并前A："+a.toString());
		System.out.println("合并前B："+b.toString());
		int a_len,b_len;
		String elem;/*声明与a和b相同的数据元素*/
		a_len = a.size();/*求a,b的线性表长度*/
		b_len = b.size();
		
		for(int i = 0; i < b_len; i++){
			elem = b.get(i);/*取b中的第i个元素给elem*/
			if(!a.contains(elem)){
				a.add(elem);
			}
		}
		System.out.println("合并后A："+a.toString());
}

3.4 线性表的顺序存储结构

3.4.1 顺序存储定义

说这么多的线性表，我们来看看线性表的两种物理结构的第一种--顺序存储结构。

线性表的顺序存储结构，指的是用一段地址连续的存储单元依次存储线性表的数据元素。

线性表(a1，a2，......，an) 的顺序存储示意图如下:

我们在第一课时已经讲过顺序存储结构。今天我再举一个例子。

记得大学时，我们同宿舍有一个同学，人特别老实、热心，我们时常会让他帮我们去图书馆占座，他总是答应，你想想，我们一个宿舍连他共有九个人，这其实明摆着是欺负人的事。他每次一吃完早饭就冲去图书馆 ，挑一个好地儿，把他书包里的书，一本一本地按座位放好，若书包里的书不够，他会把他的饭盒、水杯等能用上的物品都用上，长长一排，九个座硬是被他占了，后来有一次因占座的事弄得差点都要打架。

3.4.2 顺序存储方式

线性表的顺序存储结构，说白了，和刚才的例子一样，就是在内存中找了块地儿，通过占位的形式，把一定内存空间给占了， 然后把相同数据类型的数据元素依次存放在这块空地中。既然线性表的每个数据元素的类型都相同，所以可以用C语言、Java语言(其他语言也相同)的一维数组来实现顺序存储结构，即把第一个数据元素存到数组下标为 0 的位置中，接着把线性表相邻的元素存储在数组中相邻的位置。

我那同学占座时，如果图书馆里空座很多，他当然不必一定要选择第一排第一个位子 ， 而是可以选择风水不错、美女较多的地儿。找到后，放一个书包在第一个位置，就表示从这开始，这地方暂时归我了 。为了建立一个线性表，要在内存中找一块地，于是这块地的第一个位置就非常关键，它是存储空间的起始位置。

接着，因为我们一共九个人，所以他需要占九个座。 线性表中，我们估算这个线性表的最大存储容量，建立一个数组，数组的长度就是这个最大存储容量 。

可现实中，我们宿舍总有那么几个不是很好学的人，为了游戏，为了恋爱，就不去图书馆自习了。假设我们九个人，去了六个，真正被使用的座位也就只是六个，另三个是空的。同样的，我们已经有了起始的位置，也有了最大的容量， 于是我们可以在里面增加数据了。随着数据的插入，我们线性表的长度开始变大，不过线性表的当前长度不能超过存储容量，即数组的长度。 想想也是，如果我们有十个人，只占了九个座，自然是坐不下的。

来看线性表的顺序存储的结构代码。

这里，我们就发现描述顺序存储结构需要三个属性:

• 存储空间的起始位置:数组 data，它的存储位置就是存储空间的存储位置。

• 线性表的最大存储容量:数组长度 MaxSize 。

• 线性表的当前长度:Length。

3.4.3 数据长度与线性表长度区别

注意哦，这里有两个概念"数组的长度"和"续性表的长度"需要区分一下。

数组的长度是存放线性表的存储空间的长度，存储分配后这个量是一般是不变的。有个别同学可能会问，数组的大小一定不可以变吗?我怎么看到有书中谈到可以动态分配的一维数组。是的，一般高级语言 ，比如C、VB、 C++都可以用编程手段实现动态分配数组，不过这会带来性能上的损耗。

线性表的长度是线性表中数据元素的个数，随着线性表插入和删除操作的进行，这个量是变化的。

在任意时刻，线性表的长度应该小于等于数组的长度。

3.4.4地址计算方法

由于我们数数都是从1开始数的，线性表的定义也同样如此，起始也是1，可C、Java语言中的数组却是从0开始第一个下标的，于是线性表的第 i 个元素是要存储在数组下标为 i-1 的位置，即数据元素的序号和存放它的数组下标之间存在对应关系(如图3-4-3所示)。

用数组存储顺序表意味着要分配固定长度的数组空间，由于线性表中可以进行插入和删除操作，因此分配的数组空间要大于等于当前线性表的长度。

其实，内存中的地址，就和图书馆或电影院里的座位一样，都是有编号的。存储器中的每个存储单元都有自己的编号，这个编号称为地址。当我们占座后，占座的第一个位置确定后，后面的位置都是可以计算的。试想一下，我是班级成绩第五名，我后面的10名同学成绩名次是多少呢?当然是6，7 ，…、 15 ，因为 5+1,5+2,…, 5+10。由于每个数据元素，不管它是整型、实型还是字符型，它都是需要占用一定的存储单元空间的。假设占用的是c个存储单元，那么线性表中第 i+l 个数据元素的存储位置和第i个数据元素的存储位置满足下列关系 ( LOC 表示获得存储位置的函数)。

LOC(a(i+1)) = LOC(ai )+ c

所以对于第 i 个数据元素 ai，的存储位置可以由 a1 推算得出:

LOC(ai)= LOC(a1) + (i-l)*c

从图3-4-4来理解:

通过这个公式，你可以随时算出线性表中任意位置的地址，不管它是第一个还是最后一个，都是相同的时间 。 那么我们对每个线性表位置的存入或者取出数据，对于计算机来说都是相等的时间，也就是一个常数，因此用我们算法中学到的时间复杂度的概念来说，它的存取时间性能为 O(1)。我们通常把具有这一特点的存储结构称为随机存取结构。

3.5 顺序存储结构的插入与删除

3.5.1 获得元素操作

对于线性表的顺序存储结构来说，如果我们要实现 GetElem 操作，即将线性表 L中的第 i 个位置元素值返回，其实是非常简单的。就程序而言，只要 i 的数值在数组下标范围内，就是把数组第i-l下标的值返回即可。 来看C代码 :

#define OK 1;
        #define ERROR 0;
	#define TRUE 1;
	#define FALSE 0;
	typedef int Status;
	/*status是函数的类型，其值是函数结果状态代码，如OK等*/
	/*初始条件：顺序线性表L已存在，1<=i<=ListLength(L)*/
	/*操作结果：用e返回L中的第i个数据元素的值*/
	Status GetElem(SqList L, int i , ElemType *e)
	{
		if(L.length==0 || i < 1 || i > L.length)
			return ERROR;
		*e = L.data[i-1];
		return OK;
	}

注意这里返回值类型Status是一个整型，返回OK代表1 ，ERROR代表0。之后代码中出现就不再详述。

Java代码：

static int getElem(int[] array,int i, int e){
		int elem;
		if(array.length==0 || i < 1 || i > array.length)
			return 0;
		elem = array[i-1];
		return elem;
	}

3.5.2 插入操作

刚才我们也谈到，这里的时间复杂度为O(1) 。我们现在来考虑，如果我们要实现ListInsert(*L,i,e) ,即在线性表 L 中的第 i 个位置插入新元素 e ，应该如何操作?

举个例子，本来我们在春运时去买火车票，大家都排队排的好好的。这时来了一个美女，对着队伍中排在第三位的你说，"大哥，求求你帮帮忙，我家母亲有病，我得急着回去看她，这队伍这么长，你可否让我排在你的前面? "你心一软，就同意了 。这时，你必须得退后一步，否则她是没法进到队伍来的。这可不得了，后面的人像蠕虫一样，全部都得退一步。骂起四声。但后面的人也不清楚这加塞是怎么回事，没什么办法。

这个例子其实已经说明了线性表的顺序存储结构，在插入数据时的实现过程(如图 3-5-1 所示)。

插入算法的思路;

• 如果插入位置不合理，抛出异常;

• 如果线性表长度大于等于数组长度，则抛出异常或动态增加容量;

• 从最后一个元素开始向前遍历到第 i 个位置，分别将它们都向后移动一个位置;

• 将要插入元素填入位置 i 处;

• 表长加 1 。

C实现代码如下:

应该说这代码不难理解。如果是以前学习其他语言的同学，可以考虑把它转换成你熟悉的语言再实现一遍，只要思路相同就可以了 。

Java实现如下：

static final int MAXSIZE = 10;
	static final int ERROR = 0;
	static final int OK = 1;
	int[] L = new int[MAXSIZE]; 
	static int ListInsert(int[] L, int i, int e){
		int k;
		if(L.length == MAXSIZE)/*顺序线性表已经满*/
			return ERROR;
		if(i < 1 ||  i > L.length)/*当i不在范围内时*/
			return ERROR;
		if(i < L.length){/*若插入数据位置不在表尾*/
			for(k = L.length; k >= i-1; k--)/*将要插入位置后面的数据元素往后移动一位*/
				L[k+1] = L[k];
		}
		L[i-1] = e;/*将新元素插入*/
		return OK;
	}

3.5.3 删除操作

接着刚才的例子。此时后面排队的人群意见都很大，都说怎么可以这样，不管什么原因，插队就是不行，有本事，找火车站开后门去。就在这时，远处跑来一胖子，对着这美女喊，可找到你了，你这骗子，还我钱。只见这女子二话不说，突然就冲出了队伍，胖子迫在其后，消失在人群中。哦，原来她是倒卖火车票的黄牛，刚才还装可怜。于是排队的人群，又像蠕虫一样，均向前移动了一步，骂声渐息，队伍又恢复了平静。

这就是线性表的顺序存储结构删除元素的过程(如图 3-5-2 所示)。

删除算法的思路:

• 如果删除位置不合理，抛出异常;

• 取出删除元素;

• 从删除元素位置开始遍历到最后一个元素位置，分别将它们都向前移动一个位置;

• 表长减 1 。

C实现代码如下:

	/*初始条件:顺序线性表L已存在 ， l<=i<=ListLength(L)*/
	/*操作结果:删除L的第i个数据元素，并用e返回其值，L的长度减1*/
	Status ListDelete (SqList *L,int i, ElemType *e)
	{
		int k;
		if (L->length==0) /*线性表为空*/
			return ERROR;
		if(i < 1 || i > L->length)/*删除位置不正确*/
			return ERROR;
		*e = L->data[i-1];
		if(i < L->length)/*如果删除不是最后元素*/
		{
			for(k=i; k < L->length; k++)/*将删除位置后继元素前移*/
				L->data[k-1] = L->data[k];
		}
		L->length--;
		return OK;
	}

Java实现代码如下：

	static final int MAXSIZE = 10;
	static final int ERROR = 0;
	static final int OK = 1;
	int[] L = new int[MAXSIZE]; 
	static int ListDelete(int[] L, int i, int e){
		int k;
		if(L.length >= 0)/*线性表为空*/
			return ERROR;
		if(i < 1 ||  i > L.length)/*删除位置不正确*/
			return ERROR;
		if(i < L.length){/*如果删除不是最后元素*/
			for(k = i; k <= L.length; k++)/*将删除位置后继元素前移*/
				L[k-1] = L[k];
		}
		return OK;
	}

现在我们来分析一下，插入和删除的时间复杂度。

先来看最好的情况，如果元素要插入到最后一个位置，或者删除最后一个元素，此时时间复杂度为O(1) ，因为不需要移动元素的，就如同来了一个新人要正常排队，当然是排在最后，如果此时他又不想排了，那么他一个人离开就好了 ，不影响任何人。

最坏的情况呢，如果元素要插入到第一个位置或者删除第一个元素，此时时间复杂度是多少呢?那就意味着要移动所有的元素向后或者向前，所以这个时间复杂庭为O(n) 。

至于平均的情况，由于元素插入到第i个位置，或删除第i个元素，需要移动 n -i个元素。根据概率原理 ,每个位置插入或删除元素的可能性是相同的，也就说位置靠前，移动元素多，位置靠后，移动元素少。最终平均移动次数和最中间的那个元素的移动次数相等，为(n-1)/2。

我们前面讨论过时间复杂度的推导，可以得出，平均时间复杂度还是 O(n) 。

这说明什么?线性表的顺序存储结构，在存、读数据时，不管是哪个位置，时间复杂度都是 0(1); 而插入或删除时，时间复杂度都是 O(n)。这就说明，它比较适合元素个数不太变化，更多是存取数据的应用。当然，它的优缺点还不只这些......

3.5.4 线性表顺序存储结构的优缺点

线性表的顺序存储结构的优缺点如图 3-5-3 所示。

好了，大家休息一下，我们等会儿接着讲另一个存储结构。

引用《大话数据结构》作者：程杰