《统计学习方法》 决策树 CART生成算法 回归树 Python实现
代码可在Github上下载:代码下载
先说明一下在看《统计学习方法》Cart回归树的时候懵懵的，也没又例子。然后发现《机器学习实战》P162有讲到这个，仔细看了一下。
所以这下面是《机器学习实战》的代码，但书上没有什么原理，如果不太懂原理的话，会有点难以理解。而它的实现就是《统计学习方法》P69的算法5.5（最小二乘回归树的生成算法）。
######引用《统计学习方法》P69的算法5.5
输入：训练数据集 D；
输出：回归树 f(x).
在训练数据集所在的输入空间中，递归地将每个区域划分为两个子区域并决定每个子区域上的输出值，构建二叉决策树：
(1) 选择最优切分变量 j 与切分点 s（比如选择切分向量第j维来划分，就根据这个s>特征值和<=特征值来划分成2个子集），求解
m i n j , s [ m i n c 1 ∑ x i ∈ R 1 ( j , s ) ( y i − c 1 ) 2 + m i n c 2 ∑ x i ∈ R 2 ( j , s ) ( y i − c 2 ) 2 ] \mathop {min}_{j,s}[\mathop {min}_{c_1}\sum_{x_i\in R_1(j,s)}(y_i−c_1)^2+\mathop {min}_{c_2}\sum_{x_i\in R_2(j,s)}(y_i−c_2)^2] minj,s[minc1∑xi∈R1(j,s)(yi−c1)2+minc2∑xi∈R2(j,s)(yi−c2)2]
遍历变量 j，对固定的切分变量 j 扫描切分点 s
(2) 用选定的对 (j,s) 划分区域并决定相应的输出值：
R 1 ( j , s ) = x ∣ x ( j ) ≤ s R_1(j,s)={x|x^{(j)}≤s} R1(j,s)=x∣x(j)≤s, R 2 ( j , s ) = x ∣ x ( j ) > s R_2(j,s)={x|x^{(j)}>s} R2(j,s)=x∣x(j)>s
c ^ m = 1 N m ∑ x i ∈ R m ( j , s ) y i \hat c_m=\frac {1}{N_m}\sum_{x_i \in R_m(j,s)}y_i c^m=Nm1∑xi∈Rm(j,s)yi, x ∈ R m , m = 1 , 2 x\in R_m,m=1,2 x∈Rm,m=1,2
(3) 继续对两个子区域调用步骤(1),(2)，直至满足停止条件。
(4) 将输入空间分为 M 个区域 R1,R2,⋯,RM，生成决策树：
f ( x ) = ∑ m = 1 M c ^ m I ( x ∈ R m ) f(x)=\sum_{m=1}^M\hat c_mI(x\in R_m) f(x)=∑m=1Mc^mI(x∈Rm)
好了，我们来看代码吧。
def loadDataSet(self, fileName): #加载数据
dataMat = []
fr = open(fileName)
for line in fr.readlines(): #遍历每一行
curLine = line.strip().split('\t')
fltLine = map(float, curLine) #将里面的值映射成float,否则是字符串类型的
dataMat.append(fltLine)
return dataMat
这上面是从文件中加载数据集的代码，没太多可以说的，接着看。
def regLeaf(self, dataSet): #将均值作为叶子节点
return np.mean(dataSet[:, -1]) #类别的均值
看下注释，其实就是对应上面的 c ^ m = 1 N m ∑ x i ∈ R m ( j , s ) y i \hat c_m=\frac {1}{N_m}\sum_{x_i \in R_m(j,s)}y_i c^m=Nm1∑xi∈Rm(j,s)yi, x ∈ R m , m = 1 , 2 x\in R_m,m=1,2 x∈Rm,m=1,2这个公式了。
def regErr(self, dataSet):#计算误差
return np.var(dataSet[:, -1]) * np.shape(dataSet)[0] #方差乘以行数
你可以先看下api:numpy.var就知道了它是一个计算方差的。
var = mean(abs(x - x.mean())**2)
方差乘以行数不就是mean(abs(x - x.mean())**2)然后行数，对应 m i n c 1 ∑ ( y i − c 1 ) 2 \mathop {min}_{c_1} \sum (y_i - c_1) ^2 minc1∑(yi−c1)2了么。
所以这个函数对应着 m i n j , s [ m i n c 1 ∑ x i ∈ R 1 ( j , s ) ( y i − c 1 ) 2 + m i n c 2 ∑ x i ∈ R 2 ( j , s ) ( y i − c 2 ) 2 ] \mathop {min}_{j,s}[\mathop {min}_{c_1}\sum_{x_i\in R_1(j,s)}(y_i−c_1)^2+\mathop {min}_{c_2}\sum_{x_i\in R_2(j,s)}(y_i−c_2)^2] minj,s[minc1∑xi∈R1(j,s)(yi−c1)2+minc2∑xi∈R2(j,s)(yi−c2)2].让我们乘胜逐北。
def createTree(self, dataSet, leafType=regLeaf, errType=regErr, ops=(1, 4)):
feat, val = self.chooseBestSplit(dataSet, leafType, errType, ops)
if feat == None: return val #说明是叶节点，直接返回均值
retTree = {}
retTree['spInd'] = feat #记录是用哪个特征作为划分
retTree['spVal'] = val #记录是用哪个特征作为划分（以便于查找的时候，相等进入左树，不等进入右树）
lSet, rSet = self.binSplitDataSet(dataSet, feat, val) #按返回的特征来选择划分子集
retTree['left'] = self.createTree(lSet, leafType, errType, ops) #用划分的2个子集的左子集，递归建树
retTree['right'] = self.createTree(rSet, leafType, errType, ops)
return retTree
这个就是建树的代码了，大体思想就是通过判断是否需要继续划分，如果不需要说明已经是叶节点了，返回叶节点的值；如果需要划分，则继续用递归的形式继续划分下去。继续看下如何选择最好的特征划分。
def chooseBestSplit(self, dataSet, leafType=regLeaf, errType=regErr, ops=(1, 4)):
tolS = ops[0] #容许的误差下降值
tolN = ops[1] #划分的最少样本数
if len(set(dataSet[:, -1].T.tolist()[0])) == 1: #类标签的值都是一样的，说明没必要划分了，直接返回
return None, leafType(dataSet)
m, n = np.shape(dataSet) #m是行数，n是列数
S = errType(self, dataSet) #计算总体误差
bestS = np.inf #np.inf是无穷大的意思，因为我们要找出最小的误差值，如果将这个值设得太小，遍历时很容易会将这个值当成最小的误差值了
bestIndex = 0
bestValue = 0
for featIndex in range(n-1): #遍历每一个维度
for splitVal in set(dataSet[:,featIndex].T.A.tolist()[0]): #选出不同的特征值，进行划分,勘误：这里跟书上不一样，需修改
mat0, mat1 = self.binSplitDataSet(dataSet, featIndex, splitVal) #子集的划分
if (np.shape(mat0)[0] < tolN) or (np.shape(mat1)[0] < tolN): #划分的两个数据子集，只要有一个小于4，就说明没必要划分
continue
newS = errType(self, mat0) + errType(self, mat1) #计算误差
if newS < bestS: #更新最小误差值
bestIndex = featIndex
bestValue = splitVal
bestS = newS
if (S - bestS) < tolS: #检查新切分能否降低误差
return None, leafType(self, dataSet)
mat0, mat1 = self.binSplitDataSet(dataSet, bestIndex, bestValue)
if (np.shape(mat0)[0] < tolN) or(np.shape(mat1)[0] < tolN): #检查是否需要划分（如果两个子集的任一方小于4则没必要划分）
return None, leafType(self, dataSet)
return bestIndex, bestValue
这段代码，说白了就是上面算法（1）的步骤：
[ m i n c 1 ∑ x i ∈ R 1 ( j , s ) ( y i − c 1 ) 2 + m i n c 2 ∑ x i ∈ R 2 ( j , s ) ( y i − c 2 ) 2 ] [\mathop {min}_{c_1}\sum_{x_i\in R_1(j,s)}(y_i−c_1)^2+\mathop {min}_{c_2}\sum_{x_i\in R_2(j,s)}(y_i−c_2)^2] [minc1∑xi∈R1(j,s)(yi−c1)2+minc2∑xi∈R2(j,s)(yi−c2)2]
对应这个代码newS = errType(self, mat0) + errType(self, mat1)。
上面for featIndex in range(n-1):以及里面的循环，
for splitVal in set(dataSet[:,featIndex].T.A.tolist()[0]):
就是寻找最小的误差值了。
然后这里有3个条件会被判定这个集合是作为叶子节点的（好不让他继续划分下去呀）。
1、类标签的值都是一样的，说明没必要划分了，直接返回None， 叶子节点值。
2、总体误差减去最小的误差如果小于容许的误差下降值（tolS=ops[0]），直接返回None， 叶子节点值。
3、如果划分的两个子集，任一方小于4（tolN=ops[1]）个样本的话，直接返回None， 叶子节点值。
好了，测试一下。
if __name__ == '__main__':
regTree = RegressionTree()
myMat = regTree.loadDataSet('ex0.txt')
myMat = np.mat(myMat)
print regTree.createTree(myMat)
你成功了吗?
下面贴下完整的代码。
# --*-- coding:utf-8 --*--
import numpy as np
class RegressionTree: #回归树
def loadDataSet(self, fileName): #加载数据
dataMat = []
fr = open(fileName)
for line in fr.readlines(): #遍历每一行
curLine = line.strip().split('\t')
fltLine = map(float, curLine) #将里面的值映射成float,否则是字符串类型的
dataMat.append(fltLine)
return dataMat
def binSplitDataSet(self, dataSet, feature, value): #按某列的特征值来划分数据集
mat0 = dataSet[np.nonzero(dataSet[:, feature] > value)[0], :] #勘误：这里跟书上不一样，需修改
mat1 = dataSet[np.nonzero(dataSet[:, feature] <= value)[0], :] #np.nonzero(...)[0]返回一个列表
return mat0, mat1
def regLeaf(self, dataSet): #将均值作为叶子节点
return np.mean(dataSet[:, -1])
def regErr(self, dataSet):#计算误差
return np.var(dataSet[:, -1]) * np.shape(dataSet)[0] #方差乘以行数
def createTree(self, dataSet, leafType=regLeaf, errType=regErr, ops=(1, 4)):
feat, val = self.chooseBestSplit(dataSet, leafType, errType, ops)
if feat == None: return val #说明是叶节点，直接返回均值
retTree = {}
retTree['spInd'] = feat #记录是用哪个特征作为划分
retTree['spVal'] = val #记录是用哪个特征作为划分（以便于查找的时候，相等进入左树，不等进入右树）
lSet, rSet = self.binSplitDataSet(dataSet, feat, val) #按返回的特征来选择划分子集
retTree['left'] = self.createTree(lSet, leafType, errType, ops) #用划分的2个子集的左子集，递归建树
retTree['right'] = self.createTree(rSet, leafType, errType, ops)
return retTree
def chooseBestSplit(self, dataSet, leafType=regLeaf, errType=regErr, ops=(1, 4)):
tolS = ops[0] #容许的误差下降值
tolN = ops[1] #划分的最少样本数
if len(set(dataSet[:, -1].T.tolist()[0])) == 1: #类标签的值都是一样的，说明没必要划分了，直接返回
return None, leafType(dataSet)
m, n = np.shape(dataSet) #m是行数，n是列数
S = errType(self, dataSet) #计算总体误差
bestS = np.inf #np.inf是无穷大的意思，因为我们要找出最小的误差值，如果将这个值设得太小，遍历时很容易会将这个值当成最小的误差值了
bestIndex = 0
bestValue = 0
for featIndex in range(n-1): #遍历每一个维度
for splitVal in set(dataSet[:,featIndex].T.A.tolist()[0]): #选出不同的特征值，进行划分,勘误：这里跟书上不一样，需修改
mat0, mat1 = self.binSplitDataSet(dataSet, featIndex, splitVal) #子集的划分
if (np.shape(mat0)[0] < tolN) or (np.shape(mat1)[0] < tolN): #划分的两个数据子集，只要有一个小于4，就说明没必要划分
continue
newS = errType(self, mat0) + errType(self, mat1) #计算误差
if newS < bestS: #更新最小误差值
bestIndex = featIndex
bestValue = splitVal
bestS = newS
if (S - bestS) < tolS: #检查新切分能否降低误差
return None, leafType(self, dataSet)
mat0, mat1 = self.binSplitDataSet(dataSet, bestIndex, bestValue)
if (np.shape(mat0)[0] < tolN) or(np.shape(mat1)[0] < tolN): #检查是否需要划分（如果两个子集的任一方小于4则没必要划分）
return None, leafType(self, dataSet)
return bestIndex, bestValue
数据集文件"ex0.txt"以及回归树的完整代码见机器学习Github