GPS从入门到放弃（八） --- GPS卫星速度解算

GPS从入门到放弃（八） — GPS卫星速度解算

在阅读这一篇强烈建议先阅读GPS卫星位置解算。

为了计算卫星速度，需要对卫星的位置求导。

计算各参变量对时间的导数如下：
$${\dot{M}}_k=n$$
$${\dot{E}}_k=\frac{{\dot{M}}_k}{1-e\cos E_k}$$
$${\dot{\nu }}_k=\frac{\sqrt{1-e^2}{\dot{E}}_k}{1-e\cos E_k}$$
$${\dot{\Phi }}_k={\dot{\nu }}_k$$
$$\delta {\dot{u}}_k=2{\dot{\Phi }}_k(C_{us}\cos 2{\Phi }_k-C_{uc}\sin 2{\Phi }_k)$$
$$\delta {\dot{r}}_k=2{\dot{\Phi }}_k(C_{rs}\cos 2{\Phi }_k-C_{rc}\sin 2{\Phi }_k)$$
$$\delta {\dot{i}}_k=2{\dot{\Phi }}_k(C_{is}\cos 2{\Phi }_k-C_{ic}\sin 2{\Phi }_k)$$
$${\dot{\Omega }}_k=\dot{\Omega }-{\dot{\Omega }}_e$$
$${\dot{i}}_k=\dot{i}+\delta {\dot{i}}_k$$
$${\dot{r}}_k=Ae{\dot{E}}_k\sin E_k+\delta {\dot{r}}_k$$
$${\dot{u}}_k={\dot{\Phi }}_k+\delta {\dot{u}}_k$$

计算卫星在轨道平面内的速度和WGS-84坐标系中的速度如下：
$${\dot{x}}_k^{\prime }={\dot{r}}_k\cos u_k-r_k{\dot{u}}_k\sin u_k$$
$${\dot{y}}_k^{\prime }={\dot{r}}_k\sin u_k+r_k{\dot{u}}_k\cos u_k$$
$${\dot{x}}_k=-y_k{\dot{\Omega }}_k-({\dot{y}}_k^{\prime }\cos i_k-z_k{\dot{i}}_k)\sin {\Omega }_k+{\dot{x}}_k^{\prime }\cos {\Omega }_k$$
$${\dot{y}}_k=x_k{\dot{\Omega }}_k+({\dot{y}}_k^{\prime }\cos i_k-z_k{\dot{i}}_k)\cos {\Omega }_k+{\dot{x}}_k^{\prime }\sin {\Omega }_k$$
$${\dot{z}}_k={\dot{y}}_k^{\prime }\sin i_k+y_k^{\prime }{\dot{i}}_k\cos i_k$$

在之前的位置解算的过程中，我们已经求得了很多中间变量，利用以上公式，即可求得卫星速度。
代码如下：

M_k_Dot = n
E_k_Dot = M_k_Dot/(1-e*math.cos(E_k))
nu_k_Dot = math.sqrt(1-e**2)*E_k_Dot/(1-e*math.cos(E_k))
Phi_k_Dot = nu_k_Dot
delta_u_k_Dot = 2*Phi_k_Dot*(Cus*math.cos(2*Phi_k) - Cuc*math.sin(2*Phi_k))
delta_r_k_Dot = 2*Phi_k_Dot*(Crs*math.cos(2*Phi_k) - Crc*math.sin(2*Phi_k))
delta_i_k_Dot = 2*Phi_k_Dot*(Cis*math.cos(2*Phi_k) - Cic*math.sin(2*Phi_k))
Omega_k_Dot = Omega_Dot - Omega_e_Dot
i_k_Dot = i_Dot + delta_i_k_Dot
r_k_Dot = A*e*E_k_Dot*math.sin(E_k) + delta_r_k_Dot
u_k_Dot = Phi_k_Dot + delta_u_k_Dot


x_p_k_Dot = r_k_Dot*math.cos(u_k) - r_k*u_k_Dot*math.sin(u_k)
y_p_k_Dot = r_k_Dot*math.sin(u_k) + r_k*u_k_Dot*math.cos(u_k)

x_k_Dot = -y_k*Omega_k_Dot - (y_p_k_Dot*math.cos(i_k) - z_k*i_k_Dot)*math.sin(Omega_k) + x_p_k_Dot*math.cos(Omega_k)
y_k_Dot = x_k*Omega_k_Dot + (y_p_k_Dot*math.cos(i_k) - z_k*i_k_Dot)*math.cos(Omega_k) + x_p_k_Dot*math.sin(Omega_k)
z_k_Dot = y_p_k_Dot*math.sin(i_k) + y_p_k*i_k_Dot*math.cos(i_k)

print("x_k_Dot={}".format(x_k_Dot))
print("y_k_Dot={}".format(y_k_Dot))
print("z_k_Dot={}".format(z_k_Dot))

用GPS卫星位置解算中的数据进行解算，可以得到卫星在WGS-84坐标系中的速度为：
$$\left[\begin{array}{r}{\dot{x}}_k\\ {\dot{y}}_k\\ {\dot{z}}_k\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1088.4093298528\\ 2189.0005213284817\\ -1527.1796186285617\end{array}\right](米/秒)$$